Reglas de Feynman para interacciones de bosones vectoriales masivos

Question

Estoy atascado en el comienzo de un problema en el que se me da un término de interacción que modifica el Lagrangiano QED regular. Se trata de la interacción entre un campo de fotones y un bosón vectorial masivo: $\mathcal{L}_{int_1} = \frac{1}{4}g_1G_{\mu \nu}F^{\mu \nu}$ . Aquí, $F^{\mu \nu}$ es el tensor de campo electromagnético. De manera similar, $G_{\mu \nu} = \partial_{\mu}B_{\nu}-\partial_{\nu}B_{\mu}$ donde $B_{\mu}$ es el campo vectorial masivo.

Estoy tratando de derivar la regla de Feynman para este vértice. No estoy seguro de qué hacer. Normalmente, me limito a bajar un 4-momento cuando tengo un campo con derivadas en la lagrangiana, pero en este caso, parece que dos de los 4-momentos acabarían formando un producto de puntos juntos, mientras que los otros dos no, y me quedaría un término sin índices y dos términos con índices, lo cual no tiene sentido. ¿Alguien sabe cuál es la regla de Feynman para este vértice y por qué es así?

EDIT: Creo que la regla de Feynman podría ser $i\mathcal{M} = -i g_1 (g_{\mu \nu}-\frac{k_\mu a_\nu}{k \cdot q})$ . He obtenido esto mediante un cálculo análogo para encontrar el propagador del fotón. ¿Está permitido hacer esto?

El principal problema que estoy tratando de resolver es el diagrama $f\bar{f} \to \phi\phi^*$ . A partir de los comentarios, me doy cuenta de que tengo dos opciones: 1) puedo diagonalizar la matriz de masa y utilizar la nueva masa como masa en el propagador entre los dos vértices extremos o 2) puedo considerar la serie infinita de $A$ propagador > $B$ propagador > ... > $A$ propagador > $B$ propagador y obtener la misma respuesta. El problema que estoy teniendo con la diagonalización de la matriz de masa es que en problemas anteriores en los que he diagonalizado una matriz de masa, mi término de interacción no contenía términos derivados. Así que mi intento de solución (que estoy probando ahora) es simplemente bajar un 4-momento y partir de ahí. ¿Pero entonces eso no haría mi masa dependiente del momento? Con el segundo método, creo que necesitaría seguir conociendo la regla de Feynman para el vértice de interacción, lo que me remite a mi problema original.

Answer 1

Su primer término de interacción es bilineal en 2 campos gauge. Los términos de esta forma indican que necesitas diagonalizar tu matriz de masa. Así que podrías elaborar las reglas de Feynman para tu primera interacción, pero tu pregunta es una especie de punto discutible ya que no tendrás que hacer teoría de perturbaciones para este término, se asimilará en los propagadores en la base diagonal.

EDITAR:

Para que tengas respuesta a tu pregunta original, la regla de Feynman para tu primera interacción se obtiene transformando de Fourier la Acción:

$S = \frac{g_1}{4}\int d^4 x F^{\mu} G_{\mu \nu} = \frac{g_1}{4}\int d^4 x \left( \partial_\mu F_\nu -\partial_\nu F_\mu \right) \left( \partial^\mu G^\nu - \partial^\nu G^\mu \right) $

$=\frac{g_1}{2}\int d^4 x \left( F_\nu \partial_\mu \partial^\nu G_\mu - F_\nu \Box G_\nu \right) = \int d^4 p \tilde{F}_{\nu} (-p) \left[ \frac{g_1}{2} \left( p^2 \eta^{\nu \mu} - p^\nu p^\mu \right) \right] \tilde{G}_\mu (p) $

donde la regla verte de Feynman está ahora entre corchetes.

Ahora, para reformular mi punto original, el Lagrangiano

$\mathcal{L} = \frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} + \frac{1}{4} G^{\mu \nu} G_{\mu \nu} +m^2 G^\mu G_\mu+ g_1 \frac{1}{4} F^{\mu \nu} G_{\mu \nu}$

es trivial, ya que es libre. Puedes ver esto haciendo teoría de la perturbación, o puedes facilitarte las cosas y diagonalizar la parte cuadrática de la acción.

Hágame saber si desea más aclaraciones.