Demostrar que si todo conjunto abierto de un espacio topológico X es paracompacto, entonces todo conjunto en X es paracompacto.

Question

Quiero demostrar que si todo conjunto abierto de un espacio topológico $X$ es paracompacto, entonces todo conjunto en $X$ es paracompacto.

Mi idea era tomar primero un conjunto arbitrario $A \subseteq X$ y un conver abierto $\{U_{\alpha}\}$ , por lo que también será una tapa abierta de su interior, $A^{\circ}$ que admitirá un refinamiento abierto localmente finito, digamos $\{V_{\beta}\}$ . Me preguntaba si es posible extender esto para que sea un refinamiento abierto localmente finito para $A$ . ¿Puede alguien indicarme la dirección correcta?

Answer 1

Por desgracia, el interior de $A$ no es tan útil por ejemplo, podría estar fácilmente vacío. Pero hay algo mucho más sencillo que puedes hacer: cada $U_\alpha$ es de la forma $V_\alpha\cap A$ para algunos $V_\alpha$ que está abierto en $X$ . Consideremos ahora el conjunto abierto $V=\bigcup V_\alpha$ .

Los detalles sobre cómo terminar están ocultos más abajo.

Desde $V$ es paracompacto por hipótesis, existe un refinamiento abierto localmente finito de $(V_\alpha)$ . La intersección de los conjuntos en este refinamiento con $A$ obtenemos un refinamiento abierto localmente finito de $(U_\alpha)$ .