Definición de divergencia de un tensor

Question

¿Cómo se define formalmente la divergencia de un $(p,q)$ tensor? ¿Y qué significa geométricamente?

Answer 1

Si $T$ es un $(p,q)$ entonces la divergencia $\delta T$ es $$\delta T := \mathbb{tr} \big(X \mapsto \nabla_X T\big),$$ es decir, la divergencia es la traza de el mapa que envía un campo vectorial $X$ a la derivada covariante de $T$ en relación con $X$ . Así, $\delta T$ es un $(p-1,q)$ tensor. Aquí estoy asumiendo que el tensor $T$ vive en un colector liso dotado de una conexión lineal.

La intuición geométrica suele venir de la Física a través del teorema de Stokes, por ejemplo $\delta T$ se integra a cero sobre un colector compacto.