Demostrar que la desigualdad $\sqrt{2\sqrt{4\sqrt{8....\sqrt{2^n}}}} \leqslant n+1$

Question

Dejemos que $n$ sea el número entero. Demostrar que $$\sqrt{2\sqrt{4\sqrt{8....\sqrt{2^n}}}} \leqslant n+1$$

FUENTE : OLIMPIADA MATEMÁTICA DE BANGLADESH

Soy un nuevo principiante en el radical infinito y la secuencia. No conozco su concepción básica.

Mi intento :

Después de ver ese problema, por curiosidad, pensé que debía calcular la multiplicación del término del lado izquierdo.

Entonces tengo algo como esto

$2^{\frac{1}{2}}$ × $2^{\frac{1}{2}}$ × $2^{\frac{3}{8}}$ ... × $2^{\frac{k}{2n}} = 2^{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+...+\frac{k}{2n}\right)}$ , donde denoté $2n$ = $2^\text{k}$ .

Pero aquí me quedé atascado. La secuencia anterior no sigue el patrón. Entonces, ¿cómo puedo obtener la suma de la secuencia?

Por otra parte, ¿cómo debo abordar la demostración de la condición anterior para el valor entero de $n$ ? Cualquier tipo de ayuda o pista será muy apreciada por este novato y principiante. Gracias de antemano.

Answer 1

Es $$2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{n}{2^n}}=2^{x(x+x^2+...+x^{n})'}_{x=\frac{1}{2}}=2^{x\left(\frac{x(x^n-1)}{x-1}\right)'}_{x=\frac{1}{2}}=2^{x\left(\frac{x^{n+1}-x}{x-1}\right)'}_{x=\frac{1}{2}}=$$ $$=2^{x\cdot\frac{((n+1)x^n-1)(x-1)-x^{n+1}+x}{(x-1)^2}}_{x=\frac{1}{2}}=2^{x\cdot\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}}_{x=\frac{1}{2}}=2^{2\left(n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-(n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^n+1\right)}=$$ $$=2^{\frac{n}{2^n}-\frac{n+1}{2^{n-1}}+2}=2^{2-\frac{n+2}{2^n}}.$$ Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $$2^{2-\frac{n+2}{2^n}}\leq n+1,$$ lo que obviamente es cierto para $n\geq3.$

Pero es fácil comprobar que para $n=1$ y para $n=2$ nuestra desigualdad también es cierta.