Hace $f(0)=0$ y $\left|f^\prime(x)\right|\leq\left|f(x)\right|$ implica $f(x)=0$ ?

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función tal que $f(0)=0$ para todos los números reales $x$ , $\left|f^\prime(x)\right|\leq\left|f(x)\right|$ . Puede $f$ ser una función distinta de la función constante cero?

No he podido encontrar ninguna otra función que satisfaga la propiedad. El límite de $f^\prime(x)$ puede significar que $f(x)$ puede no cambiar demasiado, pero ¿significa esto que $f$ es constante?

Pensé durante un tiempo y descubrí que $f^\prime(0)=0$ y utilizando el teorema del valor medio, si $x\neq0$ entonces hay un número real $y$ entre $0$ y $x$ tal que $\left|f(x)\right|=\left|xf^\prime(y)\right|\leq\left|xf(y)\right|$ . ¿Algo más?

Answer 1

Supongamos que $x$ es un número real con $f(x)=0$ y que $y\in [x-1/2,x+1/2]$ sea tal que $|f(y)|$ se maximiza. Entonces el teorema del valor medio implica que hay algún $z$ entre $x$ y $y$ tal que $$ 2\cdot |f(y)|\leq \frac{|f(y)|}{|y-x|}=\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|=|f'(z)|\leq |f(z)|\leq |f(y)|, $$ lo que implica $f(y)=0$ . Hemos demostrado que $f(x)$ implica $f$ es $0$ en $[x-1/2,x+1/2]$ Así que $f$ debe ser idéntico $0$ .

Answer 2

Dejemos que $F(x)=|f(x)|$ . Entonces, si $x>0$ $$ F(x)=\Bigl|\int_0^xf'(t)\,dt\Bigr|\le\int_0^x|f'(t)|\,dt\le\int_0^x|f(t)|\,dt=\int_0^xF(t)\,dt. $$ De aquí obtenemos $$ \Bigl(e^{-x}\int_0^xF(t)\,dt\Bigr)'=e^{-x}\Bigl(F(x)-\int_0^xF(t)\,dt\Bigr)\le0. $$ Así, $e^{-x}\int_0^xF(t)\,dt$ es decreciente. Dado que su valor en $x=0$ es $0$ y $e^{-x}>0$ vemos que $\int_0^xF(t)\,dt\le0$ para todos $x>0$ . Desde $F\ge0$ Esto implica que $F(x)=0$ para todos $x>0$ .

Un razonamiento similar se aplica si $x<0$ .

Answer 3

Continuando con la idea que mencioné después de proponer la pregunta: Definamos $y_1:=y$ . Por el teorema del valor medio hay un número real $y_2$ entre $0$ y $y_1$ tal que $\left|f(y_1)\right|\leq\left|y_1f^\prime(y_2)\right|\leq\left|y_1f(y_2)\right|$ así que $\left|f(x)\right|\leq\left|xy_1f(y_2)\right|\leq\left|x^2f(y_2)\right|$ . Siguiendo así, concluimos inductivamente que para todo entero positivo $n$ Hay un número real $y_n$ entre $0$ y $x$ tal que $\left|f(x)\right|\leq\left|x^nf(y_n)\right|$ . Así que si $0<x<1$ utilizando el hecho de que $f$ está acotado en un intervalo acotado, tomamos el límite del lado derecho de la última ecuación como $n$ tiende a infinito y concluir que $f(x)=0$ . Desde $f$ es continua, tenemos $f(x)=0$ para $0\leq x\leq1$ . Ahora bien, si $m$ es un número entero positivo, la función $g(x)=f(x+m)$ tiene la propiedad $\left|g^\prime(x)\right|\leq\left|g(x)\right|$ . Esto nos permite demostrar que $f(x)=0$ para $m\leq x\leq m+1$ de forma inductiva. La función $h(x)=f(-m+1-x)$ pueden ser tratados de la misma manera y eso nos permite demostrar $f(x)=0$ para cada número real $x$ .

Answer 4

Sólo estoy esbozando un enfoque alternativo para visualizar lo que realmente sucede. Soy consciente de que no es completamente riguroso, ya que depende de una cantidad infinitesimal. $\space $ Supongamos que $x$ es el tiempo y $f(x)$ es la posición de un cuerpo en la línea real. Se da que la magnitud de la velocidad, es decir, la rapidez, es menor que su distancia al origen en magnitud. En el momento $0$ la velocidad es $0$ ya que la partícula está en $0$ distancia al origen, por lo que en la siguiente $\mathrm d t$ veces, donde $\mathrm d t \to 0$ se moverá $0 \cdot \mathrm d t=0$ distancia. En el siguiente paso de longitud $\mathrm d t$ además, no se moverá porque sigue teniendo velocidad cero porque está a distancia cero del origen. Así que el cuerpo está atascado en el origen. Así que para todos los tiempos, la posición es cero. Por lo tanto, $f(x) = 0$ para todos $x$ .