Contradicción del lema noetheriano

Question

Hay una versión noetheriana del Lemma de Higman que dice

Si $X$ es un poseto noetheriano, entonces $X^*$ es noetheriano.

Ahora estaba pensando, dado $X=\{1\}$ obtenemos $X^*=\{1,11,111,\dots\}$ mediante la concatenación de $X$ . Además, digamos que $X=\mathbb{N}$ Sin embargo $\mathbb{N}$ no es noeteriano con el orden habitual $<$ . Si $X$ noetheriano, ¿cómo es $X^*$ noetheriano cuando parece que nunca se estabiliza?

Answer 1

Versión corta: Este teorema parece ser una afirmación sobre topologías, en cuyo caso la topología sobre $X^*$ es no se supone que es la topología inducido por el orden de las subpalabras.

La versión del lema de Higman que pude encontrar que mencionaba una condición nötheriana estaba en un contexto topológico, por ejemplo, en la obra de Goubault-Lorrecq Sobre los espacios noetherianos y la verificación .

En la diapositiva 38, menciona este resultado, junto con una nota que dice que requerimos $X^*$ para estar equipado con el topología de subpalabras : toda lista finita de conjuntos abiertos $\ell=(U_1,U_2,\dots U_n)$ en $X$ define un conjunto abierto: $$B_\ell = \{\psi: \text{there exists a subword } \zeta\subseteq\psi \text{ such that }\zeta\in U_1U_2\cdots U_n\}.$$

donde el producto de conjuntos abiertos en $X$ es el conjunto (en $X^*$ ) de todas las concatenaciones de sus elementos. La topología de subpalabras es entonces la topología generada por la base de todos los $B_\ell$ .

Especializado en el caso de que $X=\{1\}$ sólo hay un conjunto abierto no vacío, por lo que si $\ell$ contiene $k$ conjuntos abiertos no vacíos, entonces $B_\ell=\{\psi: \text{there exists a subword }\zeta=1^k\}$ . Por supuesto, esto significa simplemente que $B_\ell$ contiene todas las palabras de $X^*$ excepto los que tienen menos de $k$ los.

Puedes ver que esta topología es mucho más fina que la inducida por el orden de las subpalabras. Por ejemplo, no tiene $\{11,111,1111\}$ como un conjunto abierto. Así que si pensamos en Nötherian por cualquier tipo de condición de estructura restringida de objetos, debería ser mucho más fácil de lo que esperábamos para $X^*$ para tener la restricción deseada.

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Podemos demostrar, con nuestras propias manos, que $X^*$ es Nötheriano para el caso que describes. Puede que esto te resulte útil para entender la topología de las subpalabras. Te dejaré el resultado principal (que no es difícil de demostrar, pero que deberías hacer tú mismo si quieres ver lo que ocurre):

Ejercicio: Cuando $X=\{1\}$ cualquier unión de elementos de base para $X^*$ es otro elemento base; además, es uno de los elementos que se unieron.

Volviendo a la presentación: En la diapositiva 13, define un subespacio de Nöther como uno para el que todo conjunto abierto es compacto.

Especializando de nuevo al conjunto $X=\{1\}$ , considere cualquier conjunto abierto en $X^*$ por el ejercicio este es un conjunto abierto básico $B_\ell$ . Ahora considere cualquier cubierta abierta de $B_\ell$ por el ejercicio, se trata de una cubierta básica (consiste en conjuntos básicos), y por lo tanto, de nuevo por el ejercicio, hay un solo elemento $B$ en la tapa que cubre $B_\ell$ por sí mismo.

Por lo tanto, esta cubierta tiene una subcubierta finita, a saber $\{B\}$ y por lo tanto $X^*$ es Nötheriano.