Carácter de Chern de una gavilla con soporte de dimensión dada

Question

Dejemos que $\mathscr{F}^\bullet$ sea un complejo de gavillas coherentes sobre una variedad proyectiva lisa $X$ . Supongamos que el soporte de $\mathscr{F}^\bullet$ (la unión de los soportes de las gavillas de cohomología, si he entendido bien) tiene dimensión $k$ . ¿Por qué se deduce que el carácter Chern $\mathrm{ch}(\mathscr{F}^\bullet)$ es cero en las codimensiones 0 a $k - 1$ ? (El carácter de Chern de un complejo se define como el carácter de Chern de su característica de Euler).

Edición: se supone que esto es cierto para un complejo $\mathscr{F}^\bullet$ en el producto $X \times Y$ de dos variedades n-dimensionales que se apoya en la dimensión n. Tal vez la generalización anterior es incorrecta.

Answer 1

Dejemos que $\newcommand{\F}{\mathscr{F}}\F$ sea una gavilla coherente sobre una variedad suave $X$ . Dejemos que $Z = \mathrm{Supp}(\F) \subset X$ sea el soporte de $\F$ considerado como un subesquema cerrado con el Estructura del esquema "aniquilador . Entonces se tiene la gavilla $i^*(\F)$ en $Z$ que sigue siendo coherente con el apoyo $Z$ y además existe un isomorfismo canónico $\F \stackrel{\sim}{\longrightarrow} i_*(i^*(\F))$ . Ahora por el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch el ciclo $\newcommand{\ch}{\mathrm{ch}}\ch(\F) = \ch(i_*(i^*(\F)))$ se encuentra en la imagen del homomorfismo $i_* : A_*(Z) \to A_*(X)$ . Este último mapea ciclos de codimensión $j$ a ciclos de codimensión $n-m+j$ , donde $m = \dim(Z)$ y $n = \dim(X)$ . En particular, el carácter de Chern $\ch(\F)$ no tiene componentes en codimensión menor que $n - m$ .