Definición y propiedades de $W^{-1,k}_{loc}(\Omega)$ espacio

Question

Tengo un conocimiento básico de los espacios de Sobolev. Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ y $k=1,2,3... .$ Entiendo que $W^{-1,k}(\Omega)$ se define como el dual de $W_0^{1,k'}(\Omega)$ donde $k'$ es el exponente conjugado de $k.$ En otras palabras, $W^{-1,k}(\Omega)$ es un espacio lineal normado que consiste en todos los funcionales $f :W_0^{1,k'}(\Omega) \rightarrow \mathbb{R}$ equipado con la norma del operador definida por $||f||_{W^{-1,k}(\Omega)}= \sup\limits_{||\phi||_{W^{1,k'}(\Omega)}=1}|f(\phi)|.$ Hace poco me encontré con el espacio $W^{-1,k}_{loc}(\Omega).$

Me gustaría entender lo siguiente:

1. ¿Existe una norma (o al menos una métrica) sobre $W^{1,k}_{loc}(\Omega)$ ?

2. ¿Cuál es la definición de $W^{-1,k}_{loc}(\Omega)$ ? ¿Cómo interpretar estos espacios? (En vista de (1) es el dual de $W^{1,k}_{loc}(\Omega)$ bajo la norma/métrica )

3. ¿Qué entendemos por conjuntos compactos y conjuntos acotados en $W^{-1,k}_{loc}(\Omega)$ ?

Answer 1

Yo diría que todo lo que escribió para $W^{1,k}(\Omega)$ se puede ver fácilmente que es cierto para $W^{1,k}_{loc}(\Omega)$ , donde para $W^{1,k}_{loc}(\Omega)$ nos referimos a todas las funciones de $W^{1,k}(K)$ para cualquier conjunto compacto $K \subset \Omega$ .

Nota al margen: una buena caracterización (no única) de un elemento es su dual es la siguiente. Incrustar $W^{1,p}$ en $L^p\times (L^p)^n$ y utilizar Hahn-Banach (para la extensión) y utilizar entonces el teorema de representación de Riesz (para en $L^p$ ).