$\mu$ es un $f$ -medida invariable

Question

Dejemos que $\left(M,\sigma\left(\tau\right),\mu\right)$ un espacio de medidas donde $\mu$ es una medida finita, $\tau$ es una topología en $M$ , es decir, $\sigma\left(\tau\right)$ es un Borel $\sigma-$ de álgebra. Sea $\mathcal{B}\subseteq\sigma\left(\tau\right)$ una colección de subconjuntos abiertos tal que $\sigma\left(\tau\right)$ se genera por $\mathcal{B}$ entonces, dado $f:M\rightarrow M$ medible, $\mu$ es $f$ -si y sólo si $\mu\left(B\right)=\mu\left(f^{-1}\left(B\right)\right)$ para todos $B\in\mathcal{B}$ .

Nota: : Si la colección $\mathcal{B}$ es un álgebra, entonces el resultado es inmediato. En este caso hay dos formas de demostrar este resultado.Con esto en mente lo primera cosa que pensé fue demostrar que $\mathcal{B}$ es un álgebra, pero esto no siempre es cierto, entonces trato de encontrar un álgebra que contenga $\mathcal{B}$ y generando $\sigma\left(\tau\right)$ , pero hasta ahora he fracasado.

Answer 1

Es evidente que no es cierto. Dejemos que $M=\mathbb{R}$ con la topología habitual, $\mu$ es la medida de Lebesgue y $\mathcal{B}$ consiste en todos los conjuntos de la forma $(r,\infty)$ con $r$ un número real. Sea $f$ sea dada por $f(r)=2r$ .