¿Se puede demostrar el teorema ergódico de las cadenas de Markov con álgebra lineal?

Question

Este teorema está en mi libro, permítanme decir que es para cadenas de Markov de tiempo discreto, que son homogéneas en el tiempo. Ergodic se define en el libro como ser positivo recurrente y aperiódico.

El problema es que este teorema no está demostrado. Sólo se demuestra que si las probabilidades existen, entonces deben ser calculadas así. Pero la existencia no está demostrada. ¿Es difícil demostrar la existencia? ¿Qué tipo de teoría matemática o habilidades se necesitan para demostrarla?

Pensé que tal vez el álgebra lineal era suficiente, porque cuando tenemos estados finitos estamos usando matrices. Sin embargo, este teorema también es válido si tenemos un número contable de estados, siempre que todos se comuniquen y la clase sea aperiódica.

PS: Wikipedia tampoco tiene una prueba para esto.: http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain#Steady-state_analysis_and_limiting_distributions

Así que para resumir. ¿Es difícil demostrar la existencia? Si es difícil demostrar la existencia, ¿qué tipo de teoría se necesita para demostrarla?

PD: Tampoco se ha demostrado que sean realmente independientes del estado inicial.

Answer 1

Este teorema se demuestra en la mayoría de los libros de texto sobre cadenas de Markov (el suyo parece ser una excepción). Por ejemplo, se puede ver el de Durrett Fundamentos de los procesos estocásticos . La prueba no es del todo trivial, pero tampoco es excesivamente difícil. Se tarda quizás una o dos páginas una vez que se tienen los antecedentes necesarios.

En el caso de una cadena de Markov de estado finito, se puede demostrar el teorema ergódico utilizando el álgebra lineal. La pieza esencial es el Teorema de Perron-Frobenius que tampoco es del todo trivial.

Answer 2

Puede encontrar una prueba en el libro de Grinstead y Snell disponible aquí página 455