Convergencia de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sqrt n-1}{\sqrt n}\right)^n$

Question

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sqrt n-1}{\sqrt n}\right)^n$ $ Tipo de parece límite número de Euler, pero no lograron demostrar que converge. ¿Nadie? Esto fue un ejercicio al final de un capítulo sobre secuencias y series, mucho antes de que serie de Taylor e integrales, por lo que no creo que sería "justos" con los.

Answer 1

Tenga en cuenta que $1-x\leqslant\mathrm e^{-x}$ por cada $x$. Aplicando esto a $x=1/\sqrt{n}$ rendimientos $$ \left(\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}\right)^n\leqslant\left(\mathrm e^{-1/\sqrt{n}}\right)^n=\mathrm e^{-\sqrt{n}}, $$ por lo tanto, es suficiente para mostrar que la serie $$ \sum_{n\geqslant1}\mathrm e^{-\sqrt{n}} $$ converge. Hay varias maneras de hacerlo, una instructiva uno es señalar que la función de $x\mapsto\mathrm e^{-\sqrt{x}}$ está disminuyendo, por tanto, para cada $n\geqslant1$, $$ \mathrm e^{-\sqrt{n}}\leqslant\int_{n-1}^n\mathrm e^{-\sqrt{x}}\mathrm dx. $$ Sumando los rendimientos $$ \sum_{n\geqslant1}\mathrm e^{-\sqrt{n}}\leqslant I,\qquad\text{con}\quad I=\int_0^\infty\mathrm e^{-\sqrt{x}}\mathrm dx. $$ Ahora, el cambio de variable $x=t^2$ rendimientos $$ I=2\int_0^\infty t\mathrm e^{-t}\mathrm dt=2\,\a la izquierda.(t+1)\mathrm e^{-t}\right|_0^\infty=2, $$ que es finito, por lo tanto la serie de interés en efecto converge.

Otro enfoque, con no integral, es demostrar que no existe algunos finito $c$ tal que, para cada $n$, $$ \mathrm e^{-\sqrt{n}}\leqslant\frac{c}{n^2}, $$ ya que cada serie con el término general " $c/n^2$ converge.

A partir de la escuela primaria, el hecho de que $\mathrm e^x\geqslant x$ por cada $x$, se obtiene, sucesivamente,$\mathrm e^{x/4}\geqslant x/4$, $\mathrm e^{x}\geqslant x^4/4^4$ por cada $x\geqslant0$, que, por $x=\sqrt{n}$, los rendimientos de los $$ \mathrm e^{-\sqrt{n}}\leqslant\frac{256}{n^2}. $$ En resumen, el argumento de la no integral es que, para cada $n\geqslant1$, $$ \left(\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}\right)^n\leqslant\frac{256}{n^2}. $$

Answer 2

Si $f(n) = \left(1 - n^{-1/2}\right)^n$, entonces $$\ln(f(n)) = n \ln(1-n^{-1/2}) = n (-n ^ {-1/2} + O(n^{-1})) = - n ^ {1/2} + o (1) <-2 \ln(n)$$ for $n$ sufficiently large. Thus $f(n) < n ^ {-2} $ for such $n$.

Answer 3

Bueno, $$ \left(\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}\right)^n = \left[\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}\right]^{\sqrt{n}} \to \mathrm{e}^{-\sqrt{n}}. $ $

Esto sugiere una prueba de comparación de límite $\sum_n \mathrm{e}^{-\sqrt{n}}$; una manera de determinar esta convergencia de la serie "más simple" es la prueba integral.

Answer 4

$e^{- \sqrt{n}} \geq \left( \frac{ \sqrt{n} - 1}{\sqrt n} \right)^n = \left((1 - \frac{1}{n/2})^{n/2}\right)^{\sqrt n} \quad \forall n \geq 1$ (desde el lado derecho acerca a la LHS desde abajo).

Aquí es un método para mostrar que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} e^{- \sqrt{n}}$ converge, por lo que por comparación su serie converge también.