Referencia para incrustar un producto directo infinito de álgebras matriciales en el hiperfinito $II_1$ factor

Question

En algunos cálculos que estoy escribiendo, $\newcommand{\cR}{{\mathcal R}}$ Quiero añadir - como una observación bastante desechable - que cualquier producto contable (= $\ell^\infty$ -suma directa) de las álgebras matriciales se puede incrustar dentro de $\cR$ el hiperfinito ${\rm II}_1$ . Creo que he conseguido una incrustación explícita, al realizar $\cR$ como un producto tensorial infinito de álgebras matriciales en el que incrusto bloques sucesivos de mi álgebra de producto original, pero la construcción inductiva parece tan tediosa como dispendiosa.

Suponiendo que no me he equivocado, y que tales álgebras producto se incrustan como subálgebras de von Neumann de $\cR$ ¿alguien sabe de una referencia para esto, para que

(a) No tengo que agotar la paciencia del lector con algo tedioso y rutinario

(b) ¿Puedo remitir al lector a una construcción mejor que la actual?

Es más, mi opinión es que se debe mantener algo un poco más general: un finito Tipo ${\rm I}$ con predual separable debe incrustarse en $\cR$ . De nuevo, ¿alguien conoce una referencia, o un contraejemplo si me he equivocado?

Answer 1

Murray y von Neumann demostraron que si $p \in \mathcal R$ es una proyección no nula, entonces $p\mathcal R p \cong \mathcal R$ es decir, el grupo fundamental de $\mathcal R$ son todos los reales positivos (Debería poder encontrar esto en la mayoría de los libros que hablan del hiperfinito II $_1$ factor. Además, tenga en cuenta que esto es fácil de ver si $p$ tiene un rastro racional al ver $\mathcal R$ como un producto tensorial infinito de matrices). Así, si $\{ p_n \}_{n \in \mathbb N}$ es una partición de $1$ mediante proyecciones no nulas, entonces obtenemos una incrustación $$ \oplus_{n \in \mathbb N} \mathbb M_n(\mathbb C) \subset \oplus_{n \in \mathbb N} \mathcal R \cong \oplus_{n \in \mathbb N} p_n \mathcal R p_n \subset \mathcal R. $$

Tenga en cuenta también que, dado que $L^\infty([0, 1], \lambda)$ se incrusta en $\mathcal R$ (por ejemplo, como productos tensoriales de matrices diagonales), se deduce que $\mathbb M_n(\mathbb C) \overline \otimes L^\infty([0, 1], \lambda) \subset \mathbb M_n(\mathbb C) \overline \otimes \mathcal R \cong \mathcal R$ . Así, dado que cualquier álgebra abeliana separable de von Neumann $A_n$ es una subálgebra de von Neumann de $L^\infty([0, 1], \lambda)$ se deduce de lo anterior que $\oplus_{n \in \mathbb N}( A_n \overline \otimes \mathbb M_n(\mathbb C) )$ se incrusta en $\mathcal R$ . Todas las álgebras de von Neumann finitas separables son de esta forma, donde algunas de las $A_n \overline \otimes \mathbb M_n(\mathbb C)$ se pueden omitir los términos (esto se puede encontrar, por ejemplo, en Takesaki, vol. 1, capítulo 1). Así, todas las álgebras de von Neumann finitas separables se incrustan en $\mathcal R$ .