Si $ \sin \alpha + \sin \beta = a $ y $ \cos \alpha + \cos \beta = b $ entonces demuestre que $\sin(\alpha + \beta) = \frac {2ab } { a^2 + b^2} $

Question

He podido hacerlo, pero he tenido que calcular $ \cos (\alpha + \beta) $ primero. ¿Hay alguna manera de hacer esto SIN calcular $\cos(\alpha+\beta)$ ¿primero?

Así es como lo hice calculando $\cos(\alpha+\beta)$ primero

$ a^2 + b^2 = \sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta + \cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta $

$a^2 + b^2 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin ^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$

$a^2 + b^2 = 2 (1 + \cos(\alpha-\beta))$

$ \frac{a^2 + b^2}{2} = (1 + \cos(\alpha - \beta))$

$ b^2 - a^2 = (\cos ^2\alpha - \sin^2\alpha) + (\cos^2 \beta - \sin^2\beta) + 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta$

$b^2 - a^2 = (\cos^2\alpha - (1 - cos^2\alpha)) +(1-\sin^2\beta) - \sin^2\beta)) + 2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) $

$b^2 - a^2 = 2 (\cos^2\alpha - \sin^2\beta + \cos(\alpha+\beta))$

$b^2 - a^2 = 2(\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$

$\frac{b^2 - a^2}{2} = \cos(\alpha+\beta)\{\cos(\alpha-\beta) + 1 \}$

$\frac{b^2 - a^2}{2} = \cos(\alpha+\beta)\{\frac{b^2+a^2}{2}\}$

$\cos(\alpha+\beta) = \frac {a^2 + b^2 } {a^2 - b^2}$

Entonces sólo calculé $\sin(\alpha + \beta)$ por $1 - \cos^2(\alpha+\beta)$

Answer 1

\begin{align*} b+ai &= e^{i\alpha}+e^{i\beta} \\[5pt] b-ai &= e^{-i\alpha}+e^{-i\beta} \\[5pt] \frac{b+ai}{b-ai} &= \frac{e^{i\alpha}+e^{i\beta}}{e^{-i\alpha}+e^{-i\beta}} \\[5pt] \frac{(b+ai)(b+ai)}{(b-ai)(b+ai)} &= \frac{e^{i(\alpha+\beta)}(e^{i\alpha}+e^{i\beta})} {e^{i(\alpha+\beta)}(e^{-i\alpha}+e^{-i\beta})} \\[5pt] \frac{(b+ai)^2}{b^2+a^2} &= \frac{e^{i(\alpha+\beta)}(e^{i\alpha}+e^{i\beta})} {e^{i\beta}+e^{i\alpha}} \\[5pt] \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}+\frac{2ab}{a^2+b^2}i &= e^{i(\alpha+\beta)} \end{align*}

El resultado se obtiene comparando las partes imaginarias.

Answer 2

Que tal: $$\begin{array}{} a&=\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac 12(\alpha+\beta)\cos\frac 12(\alpha -\beta) \\ b&=\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac 12(\alpha+\beta)\cos\frac 12(\alpha -\beta) \\ ab&=4\sin\frac 12(\alpha+\beta)\cos\frac 12(\alpha+\beta)\cos^2\frac 12(\alpha -\beta)&=2\sin(\alpha+\beta)\cos^2\frac 12(\alpha -\beta) \\ a^2+b^2&=4\big(\sin^2\frac 12(\alpha+\beta)+\cos^2\frac 12(\alpha+\beta)\big)\cos^2\frac 12(\alpha -\beta)&=4\cos^2\frac 12(\alpha -\beta) \\ \frac{2ab}{a^2+b^2}&=\sin(\alpha+\beta) \end{array}$$

Answer 3

$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})=a$ (1)

$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos(\frac{\alpha+\beta}2)\cos(\frac{\alpha-\beta}2)=b$ (2)

Dividir (1) y (2) Obtenemos $$\tan(\frac{\alpha+\beta}2) =\frac ab$$ Tenemos la fórmula

$$\sin(\alpha+\beta) =\frac{2\tan(\frac{\alpha+\beta}2)}{1+\tan^2(\frac{\alpha +\beta}2)}$$ por lo tanto $$\sin(\alpha+\beta)=\frac{2\frac ab}{1+\frac {a^2}{b^2}}=\frac{2ab}{a^2+b^2}$$