Esto es Ejercicio 3.3.11 de Robinson "Curso de teoría de grupos (segunda edición)" . Según Enfoque0 y esta búsqueda Es nuevo para el MSE.
Los detalles:
Como las definiciones varían, en la página 15, ibid. parafraseado, afirma que
Un subgrupo $N$ de $G$ es normal en $G$ si se cumple una de las siguientes afirmaciones equivalentes:
(i) $xN=Nx$ para todos $x\in G$ .
(ii) $x^{-1}Nx=N$ para todos $x\in G$ .
(iii) $x^{-1}nx\in N$ para todos $x\in G, n\in N$ .
La definición del zócalo de $G$ que denoto como ${\rm Soc}(G)$ está en la página 87:
El subgrupo generado por todos los subgrupos normales mínimos de un grupo $G$ se llama zócalo si el grupo no tiene ningún subgrupo normal mínimo, [. . .] el zócalo de $G$ se define como $1$ .
En la misma página, encontramos
el concepto de subgrupo normal mínimo de un grupo $G$ por lo que se entiende un no trivial subgrupo normal que no contiene un subgrupo normal no trivial más pequeño de $G$ .
La pregunta:
Identificar el zócalo de un grupo abeliano.
Pensamientos:
No he conseguido calcular los zócalos, así que he utilizado GAP y, hasta ahora, no parece haber ningún patrón obvio en los zócalos que he mirado. Por ejemplo:
gap> StructureDescription(Socle(CyclicGroup(8)));
"C2"
gap> StructureDescription(Socle(DirectProduct(CyclicGroup(4),CyclicGroup(2))));
"C2 × C2"
gap> StructureDescription(Socle(DirectProduct(CyclicGroup(6),CyclicGroup(3))));
"C6 × C3"Lo anterior es un código para mostrar:
- ${\rm Soc}(\Bbb Z_8)\cong \Bbb Z_2$ .
- ${\rm Soc}(\Bbb Z_4\times \Bbb Z_2)\cong \Bbb Z_2^2$ .
- ${\rm Soc}(\Bbb Z_6\times \Bbb Z_3)\cong \Bbb Z_6\times \Bbb Z_3$ .
Tenga en cuenta que el Teorema fundamental de los grupos abelianos de generación finita aún no se ha demostrado explícitamente en el libro de Robinson.
No obstante, si hacemos un poco de trampa, podríamos utilizar lo siguiente:
Eso es,
$${\rm Soc}(A_1\times\dots\times A_n)\cong {\rm Soc}(A_1)\times \dots\times{\rm Soc}(A_n)$$
para grupos abelianos (¿necesariamente generados finitamente?) $A_i$ .
No tengo ni idea de cómo se podría abordar, por ejemplo, $(\Bbb R, +)$ o cualquier otro grupo abeliano que no esté generado finitamente.
¿Existe una clasificación de zócalos para grupos abelianos? Una respuesta parcial es aquí . ¿He interpretado mal la pregunta? Porque dice "un grupo abeliano", no "cada grupo abeliano".
Sé que todo subgrupo de un grupo abeliano $A$ es normal en $A$ .
El tipo de respuesta que espero es una clasificación de zócalos de grupos abelianos con alguna justificación de por qué es así. Esto puede ser un gran pedido, así que lo siento si es el caso.
Por favor, ayuda :)
