$(2x-5y+3)dx=(2x+4y-6)dy$

Question

Esta pregunta no es nueva. Siento revivirla, pero no encuentro otra forma porque parece que la pregunta original desapareció (no soy yo quien publicó la pregunta original).

Alguien (no recuerdo quién) preguntó sobre la resolución de la EDO : $$(2x-5y+3)dx=(2x+4y-6)dy$$ Ayer di una respuesta a esta pregunta, pero había un error en ella. En ese momento no tuve tiempo suficiente para hacer la corrección y reescribirla. Así que he borrado mi respuesta.

Hoy, cuando quería publicar mi respuesta corregida, no encuentro dónde está la pregunta original.

Como supongo que el método inusual utilizado en mi respuesta interesará a algunos lectores, publico el problema como una nueva pregunta y la respuesta se publicará inmediatamente en la sección de respuestas.

Este procedimiento fue sugerido por Max para mantenerlo fuera de la cola de espera.

Answer 1

La solución se expresa en forma de ecuación implícita. Si se quiere la solución explícita $y(x)$ hay que resolver la ecuación cúbica para $y$ . Por supuesto, es posible, pero es agotador.

Nótese que el método utilizado arriba está de alguna manera relacionado con lo que a veces se hace en el "método de las características" para resolver las EDP.

Además : COMPROBAR EL RESULTADO.

La derivada total de $(x-4y+3)(2x+y-3)^2=C$ es :

$\left( (2x+3y-3)^2+4(x-4y+3)(2x+y-3)\right)dx+\left( -4(2x+y-3)^2+2(x-4y+3)(2x+y-3)\right)dy=0$

Tras la simplificación : $3(2x+y-3)\left( (2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy\right)=0$ $$(2x-5y+3)dx=(2x+4y-6)dy$$ Recuperamos exactamente la EDO original. Por lo tanto, el resultado $(x-4y+3)(2x+y-3)^2=C$ es correcto.

Answer 2

$$(2x−5y+3)dx=(2x+4y−6)dy$$ $$(2x−5y+3)dx+(6-2x-4y)dy=0$$

$$\frac{b_2}{b_1}=\frac{4}{5}$$ $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{-2}{2}=-1$$

Observe que $$\frac{a_2}{a_1} \neq \frac{b_2}{b_1}$$

Supongamos que $(h,k)$ es una solución, entonces podemos escribirlas como

$$2h-5k+3=0 $$ $$2h+4k-6=0$$

Resolver $k=-1$ , $h=1$

Entonces, con la transformación

$$x=X+h$$

$$y=Y+k$$

Nuestro resultado será

$$x=X+1$$

$$y=Y+1$$

$$dx=dX$$

$$dy=dY$$

$$(2(X+1)-5(Y+1)+3)dX+(6-2(X+1)-4(Y+1))dY=0$$

$$(2X-5Y)dX+(-2X-4Y)dY=0$$

$$\frac{dY}{dX}=\frac{2X-5Y}{2X+4Y}$$

Obsérvese que se trata de una ecuación lineal homogénea entonces, con la transformación $Y=vX$ $\frac{dY}{dX}=v+X\frac{dv}{dX}$

$$v+X\frac{dv}{dX}=\frac{2-5v}{2+4v}$$

$$X\frac{dv}{dX}=\frac{2-5v-2v-4v^2}{2+4v}$$

$$X\frac{dv}{dX}+\frac{4v^2+7v-2}{2+4v}=0$$

$$\frac{dX}{X}+\frac{2+4v}{4v^2+7v-2}dv=0$$

Por el método de las fracciones parciales tenemos

$$\frac{2+4v}{(4v^2+7v-2)}=\frac{A}{v+2}+\frac{B}{4v-1}$$

Resolviendo tenemos

$$\int \frac{6}{9(v+2)}+\frac{4}{3(4v-1)}dv= -\int \frac{dX}{X}$$

$$\ln|(v+2)^2(4v-1)|=-\ln|X^3|+c$$

$$ln\frac{(2x+y-3)^2(4y-x-3)(x-1^3)}{(x-1)^3}=c$$

$$(2x+y-3)^2(4y-x-3)=C$$

Vi esto. No pude resistirme a contestar.