Supongamos que $M\neq 0$ es un $A$ -módulo donde $A$ es un anillo conmutativo con $1$ . ¿Es siempre posible encontrar un submódulo finitamente presentado $N\neq 0$ de $M$ ?
No es interesante cuando el anillo $A$ es noetheriano.
Sólo por diversión.
¡Muchas gracias!
No. Deja que $A = k [x_0, x_1, x_2, \ldots]$ sea el anillo de polinomios en (contablemente) infinitas variables sobre un campo $k$ . Dejemos que $M$ sea $k$ considerado como un $A$ -donde cada $x_i$ actúa como cero. Claramente, $M$ se genera finitamente como un $A$ -módulo, pero $M$ es simple (es decir, los únicos submódulos de $M$ son $0$ y $M$ mismo) y $M$ es no Presentado finamente.
Para ver que $M$ no está finitamente presentada, basta con observar que $M$ es el colímite del diagrama $$k [x_0, x_1, x_2, \ldots] \to k [x_1, x_2, \ldots] \to k [x_2, \ldots] \to \cdots$$ donde en cada paso aniquilamos una de las variables; si $M$ fuera una presentación finita $A$ -entonces uno de los mapas cotizados $k [x_n, \ldots] \to M$ tendría que dividirse como un $A$ -homomorfismo de módulo, y eso es imposible.
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