¿Cuáles son los primeros pasos para demostrarlo/resolverlo?

Question

La tabla de diferencias para la secuencia $a_0, a_1, a_2, a_3,\cdots$ es

secuencia

$a_0$

$a_1$

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$a_5$

$a_6$

...

primera diferencia

$b_0$

$b_1$

$b_2$

$b_3$

$b_4$

$b_5$

...

segunda diferencia

$c_0$

$c_1$

$c_2$

$c_3$

$c_4$

...

tercera diferencia

0

0

0

0

...

Demostrar que \begin{eqnarray} a_n &=& a_0\left( \begin{array}{r}n\\0\end{array} \derecha) + b_0 izquierda( \begin{array}{r}n\\1\end{array} \right)+c_0\left( \begin{array}{r}n\\2\end{array} \N - derecha). |eqnarray}

Answer 1

La cuarta fila dice que para todos los $n\ge0$ , $c_{n+1}-c_n=0$ Así que $c_n=c_0$ es una secuencia constante.

Entonces $b_n$ es una secuencia lineal, con

$$c_n=b_{n+1}-b_n \implies b_{n+1}=b_n+c_0 \implies b_n=b_0+c_0n$$

y $a_n$ es una secuencia cuadrática, con

$$b_n=a_{n+1}-a_n \implies a_{n+1} = a_n+b_0+c_0n \implies a_n = a_0 + b_0n + c_0\sum_{k=1}^n(n-k)$$

Ahora,

$$\sum_{k=1}^n(n-k)=n^2-\frac{n(n+1)}2=\frac{n(n-1)}2=\binom n2$$

y por supuesto $\binom n0=1$ y $\binom n1=n$ .