Para qué espacios lineales reales normados de dimensión infinita $X$ ¿podemos decir que todo subespacio de dimensión infinita es cerrado en $X$ ?

Question

Para qué espacios lineales reales normados de dimensión infinita $X$ ¿podemos decir que todo subespacio de dimensión infinita es cerrado en $X$ ? O bien, ¿todo espacio lineal normado de dimensión infinita tiene un subespacio propio de dimensión infinita que no es cerrado?

Answer 1

Todo espacio normado de dimensión infinita tiene un subespacio no cerrado.

Dejemos que $X$ sea un espacio normado de dimensión infinita, sea $a$ sea un vector no nulo. Supongamos por inducción que hemos encontrado vectores $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ para lo cual $|x_i - a| < 1/i$ y $a \not\in V_{n-1} = \Sigma_{i=1}^{n-1} \mathbf{R}x_i$ . Ampliaremos esta secuencia encontrando un $n$ El término $x_n$ . Esto será suficiente, ya que el espacio $\bigcup_{i=1}^{+\infty} V_i$ no contendrá $a$ , pero tendrá $a$ en su cierre.

Claramente, porque $X$ es de dimensión infinita, la bola $B$ de radio $1/n$ alrededor de $a$ no puede estar contenido en ningún subespacio de dimensión finita. Por lo tanto, es posible elegir algún $x_n \in B$ que no pertenece a $V_{n-1} \oplus \mathbf{R}a$ . Este $x_n$ funciona.

Answer 2

Es difícil superar la sencilla solución de @Keith:

Daremos una prueba para $X$ espacio de Banach de dimensión infinita (condición extra).

Primero, demuestre que existe una secuencia $x_n$ en $X$ tal que $||x_n|| =1$ y $d(x_n, \langle x_1, \ldots x_{n-1}\rangle ) \ge \frac{1}{2}$ . Se construye la secuencia de forma inductiva. Una vez que $x_1$ , $\ldots x_{n-1}$ se obtienen, toma $y \not \in \langle x_1, \ldots x_{n-1}\rangle$ , $x = y - \sum_{i=1}^{n-1} c_i x_i$ para que $||y|| \le 2 d (x, \langle x_1, \ldots x_{n-1}\rangle )$ y $x_n = \frac{x}{||x||}$ .

Ahora que tenemos la secuencia $(x_n)$ , considere las sumas $s=\sum \alpha_n x_n$ con $\sum |\alpha_n| < \infty$ . Si la secuencia $\alpha_n$ disminuye lo suficientemente rápido todas estas sumas no estarán en el espacio $\langle x_n \rangle_{n\ge 0}$ . De hecho: $$d(s,\langle x_1, \ldots x_{n-1}\rangle) = d(\alpha_n x_n + \cdots, \langle x_1, \ldots x_{n-1}\rangle)\ge \\ \ge \alpha_n d ( x_n, \langle x_1, \ldots x_{n-1}\rangle) - || \alpha_{n+1} x_{n+1} + \cdots ||\ge \frac{\alpha_n}{2} - \sum_{k \ge n+1} \alpha_k$$

Por ejemplo, podemos tomar $\alpha_n = q^n$ con $|q| < \frac{1}{3}$ .

De hecho, esto demuestra que cualquier subespacio dimensional contable de un espacio de Banach no es cerrado.