función generadora de $0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,\dotsc$

Question

Sé que las funciones generadoras son $$x + x^4 + x^7 + x^{10} +\dotsb$$ y luego podemos factorizar un $x$ para conseguir $$x(1+(x^3) + (x^3)^2 + (x^3)^3 + \dotsb )$$

Ahora necesito mi respuesta en forma cerrada que es la parte que no sé hacer. La respuesta del libro de texto es $x/(1-x^3)$ pero no estoy seguro de cómo lo han conseguido.

Answer 1

Si sabes que $$\frac{1}{1-z} = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots,$$ luego dejar que $z = x^3$ da como resultado inmediato la igualdad deseada.