Y otra integral real a resolver por integración de contornos

Question

Quiero resolver

$$\int_0^\infty\frac{1}{x^3+x^2+x+1}dx$$

y realmente he aprendido mucho ya al no poder resolverlo. Quiero resolverlo usando un contorno inteligente. Es posible hacerlo usando fracciones parciales (me da $\frac{\pi}{4}$ ), pero prefiero no hacerlo, ya que los residuos parecen bastante agradables.

Obviamente, los polos están en $-1,i,-i$ con residuos que son $\frac{1}{2},-\frac{1}{4}+\frac{i}{4},-\frac{1}{4}-\frac{i}{4}$ .

Esto es lo que he intentado: No puedo conseguir que sea de $-\infty$ a $\infty$ ya que no es uniforme ni nada. Intenté un contorno que se parece a una gran rebanada de pastel, pero no hay ángulo para el "camino de vuelta" que devuelve la ecuación original (espero que sepas lo que quiero decir). Conozco un teorema que me ayudaría si no fuera por la raíz real, así que eso tampoco ayuda.

¿Realmente no hay un contorno inteligente o es que no lo veo...

Answer 1

Sugerencia :

Integrar la siguiente función

$$F(z) = \frac{\log(z)}{z^3+z^2+z+1}$$

Alrededor de un contorno de ojo de cerradura con sangría en el origen.

ADDENDUM

El logaritmo se cancelará al realizar la parametrización. Como estamos suponiendo que el logaritmo será analítico en ese contorno tenemos que utilizar la rama $(0,2\pi]$ . Así que a lo largo del eje x positivo tendremos lo siguiente

$$\int^\infty_0 \frac{\ln(x)}{x^3+x^2+x+1}dx-\int^\infty_0\frac{\ln(x)+2\pi \, i}{x^3+x^2+x+1}dx = -2\pi\, i\int^\infty_0\frac{dx}{x^3+x^2+x+1}$$

Ahora, asumiendo que la integral desaparecerá en los círculos pequeños y grandes tenemos

$$-2\pi\, i\int^\infty_0\frac{dx}{x^3+x^2+x+1} = 2\pi \,i\,\text{Res}(F(z),-1,\pm i)$$

Answer 2

Realmente no es fácil elegir un contorno correcto para éste ya que el integrando no es uniforme. Pero para este mismo problema es posible reducir la tarea a integrar la función par. Se puede hacer de la siguiente manera: después de la sustitución $x=\frac{1}{t}$ obtenemos $$I=\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{x^3+x^2+x+1}=\int\limits_0^{+\infty}\frac{t\,dt}{t^3+t^2+t+1},$$ $$I=\frac12\int\limits_0^{+\infty}\frac{(x+1)dx}{x^3+x^2+x+1}=\frac12\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1},$$ y el integrando es par ahora, por lo que podemos utilizar técnicas estándar (sumando a $[0;R]$ el segmento $[-R;0]$ , cerrando el contorno con un semicírculo, etc.).