Demostrar que $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(nb^n)=0$ para $0<b<1$ .
He visto un par de pruebas diferentes de esto usando logaritmos, el Teorema del Binomio y la Desigualdad de Bernoulli. Aunque hay duplicados de esta pregunta en este sitio, me gustaría comprobar el rigor de mi método de demostración:
Prueba :
Desde $b\in(0,1)$ podemos escribir $\frac{1}{\sqrt{b}}=1+d$ para algunos $d>0$ . Por la desigualdad de Bernoulli, sabemos $(1+d)^n>1+nd\space\space\forall n\in\mathbb{N}$ . Reordenando nuestra primera ecuación para $b$ nos encontramos con que: $$\frac{1}{b}=(1+d)^2\implies b^n=\frac{1}{((1+d)^2)^n}\implies nb_n=\frac{n}{((1+d)^2)^n}$$
Mostrar $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(nb^n)=0,$ $$|nb^n-0|=nb^n=\frac{n}{((1+d)^2)^n}<\frac{n}{(1+nd)^2}=\frac{n}{n^2d^2+2nd+1}<\bigg(\frac{1}{d^2}\bigg)\bigg(\frac{1}{n}\bigg)$$
Ahora aplicaré el teorema de que si $(a_n)$ es una secuencia de números reales positivos con $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n)=0$ y $C>0$ y $|x_n-x|\leq Ca_n$ entonces $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x.$ Así que tomando $C=\frac{1}{d^2}$ desde $d>0$ y $(a_n)=\frac{1}{n}$ tenemos que $$|nb^n-0|<\bigg(\frac{1}{d^2}\bigg)\bigg(\frac{1}{n}\bigg)$$
Concluir que efectivamente $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(nb^n)=0$ . $\blacksquare$
¡Gracias de antemano por la ayuda!
