Determinación de la convergencia uniforme de series de potencia complejas

Question

Estoy trabajando en algunos problemas de práctica para mi curso de análisis complejo, y estoy teniendo problemas con la convergencia uniforme. La pregunta es si la siguiente serie converge uniformemente para $|z|<1$ : $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2} $$ No sé muy bien cómo proceder con esta pregunta. Sé que la prueba M de Weierstrass me daría una convergencia uniforme si pudiera encontrar una serie de números reales que fuera siempre mayor que la magnitud de los términos de mi serie compleja, pero la única serie que se me ocurre es $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} > \sum_{n=1}^{\infty} |\frac{z^n}{n^2}|$ y que diverge.

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Si $|z|<1$ entonces $\left| \frac{z^n}{n^2} \right|\leq \frac{1}{n^2} =: M_n$ y $\sum_{n=1}^{\infty} M_n < \infty$ . Por lo tanto, la prueba M de Weiestrass implica que la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}$ converge uniformemente en $\{ z \in \mathbb{C} \colon |z| < 1 \}$

Answer 2

El OP tiene la idea correcta de utilizar la prueba M de Weierstrass. La serie que funcionaría para esta pregunta es $\frac{1}{n^2}$ .

Dejemos que $M_n = \frac{1}{n^2}$ Así que

$ \forall n\geq 1, \forall z \in \mathbb{C} \ s.t \ |z| < 1$

\begin{equation} \frac{|z|}{n^2} \leq M_n \end{equation}

y la serie $ \sum_{n=1}^{\infty} M_n$ converge, por lo tanto por la prueba M de Weierstrass la serie dada $\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n^2}$ coberturas de manera uniforme.