Prueba $\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 1\}$ en incontable

Question

Demostrar que el intervalo $\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 1\}$ en incontables. En otras palabras, demuestre que ninguna función $f\colon \mathbb{N} \to [0,1]$ puede tener uno a uno y sobre la correspondencia.

Por comodidad, defina $a_0 = 0$ y $b_0 = 1$

Definir un punto medio de cada intervalo para que sea $mn = \frac{(an + bn)}{2}$ para que $m_0 = \frac{1}{2}$

Entonces para $n\leq 1$ :

si $f(n) \geq mn-1$ entonces $an = \frac{(an-1 + mn-1)}{2} \text{and }bn = bn-1$

si $f(n) < m$ entonces $an = an-1$ , $bn = \frac{(mn-1 + bn-1)}{2}$

Así que, en otras palabras, toma siempre la cuarta derecha o la cuarta izquierda del intervalo para obtener el siguiente intervalo, lo que sea necesario para "evitar" $f(n)$ .

Realmente no me gusta la ruta que estoy tomando. ¿Podría guiarme?

Answer 1

Aquí hay dos ideas (a modo de orientación, pero si no sirve de nada daré los detalles completos más adelante):

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Primera idea: si "sabes" que $\mathbb R$ es incontable: existe una biyección entre $\mathbb R$ y $(0,1)$ . De hecho, existe una biyección que preserva el orden. Entonces, una vez que se ha establecido que $(0,1)$ es incontable, la incontabilidad de $[0,1]$ sigue.

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Segunda idea: Supongamos por el contrario que se pueden enumerar todos los elementos en $(0,1)$ . Para facilitarte la vida, escribe $x=0.x_1x_2 \dots$ , en la base $2$ para que $x_i \in \{0,1\}$ . A continuación, escríbalos uno debajo del otro, empezando por $(0,0,0, \dots)$ y la numeración de las filas:

$0:(0,0,0,0, \dots )$

$1:(1,0,0,0, \dots )$

$2:(1,1,0,0, \dots )$

$3:(1,1,1,0, \dots )$

$\vdots$

y así sucesivamente. Si $n$ denota el número de fila y $k$ denota la posición en la secuencia de $0$ s y $1$ s, consideremos la secuencia formada por los dígitos $n=k$ (la diagonal). Denotémosla por $d = d_0d_1d_2 \dots$ . Entonces piense en $d$ con todos los dígitos invertidos.