Condición para $\langle m\rangle\subseteq\langle n\rangle$

Question

Suponiendo que $m,n\in{\mathbb{Z}}$ ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que la pregunta en cuestión sea válida?

Si $\langle m\rangle=\{m^a|a\in\mathbb{Z}\}$ y $\langle n\rangle=\{n^b|b\in\mathbb{Z}\}$ , entonces para $x\in{\langle m\rangle}$ Necesito demostrar que $x\in{\langle n\rangle}$ . Si $x=m^a$ para que esté en $\langle n\rangle$ debe poder escribirse como $n^b$ . Entonces, ¿implica esto que $m=n^c$ para algunos $c\in\mathbb{Z}$ ? ¿Es esa la condición?

Answer 1

Creo que te estás complicando a ti mismo escribiendo la operación de forma multiplicativa y no, como es habitual, de forma aditiva (después de todo, $\;\Bbb Z\;$ es un grupo bajo adición , no bajo multiplicación o exponenciación):

$$\forall\,m\in\Bbb Z\;,\;\;\langle m\rangle:=\{km\;;\;k\in\Bbb Z\}$$

Entendiendo lo anterior, ahora tenemos que

$$\langle m\rangle \le\langle n\rangle\iff \forall\,k\in\Bbb Z\;,\;\;km\in\langle n\rangle\iff km\;\text{is a multiple of}\;n\iff n\mid m$$

Answer 2

Contener es dividir, así que $\langle m\rangle \subseteq \langle n\rangle $ si y sólo si $n\mid m$ .