Dejemos que $F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ sea continuamente diferenciable y supongamos que $F(1,1)=(1,0)$ . Supongamos que nos dan la matriz jacobiana de $F$ . ¿Cómo podemos calcular para $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,1)}\dfrac{\|F(x,y)-F(1,1)\|}{\|(x,y)-(1,1)\|}$ ? Gracias
Respuesta
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Federico Fallucca
Puntos
11
De la diferenciación de $F$ en $(1,1) $ tienes que
$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{F(x,y)-F(1,1)-J(F)(1,1)((x,y)-(1,1))}{||(x,y)-(1,1)||}=0$
y así tienes eso
$0\leq\frac{||F(x,y)-F(1,1)||}{||(x,y)-(1,1)||}\leq $
$\frac{||F(x,y)-F(1,1)-J(F)(1,1)((x,y)-(1,1))||}{||(x,y)-(1,1)||} + \frac{||J(F)(1,1)((x,y)-(1,1))||}{||(x,y)-(1,1)||}$
y, si ese límite existe, entonces
$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{||F(x,y)-F(1,1)||}{||(x,y)-(1,1)||}\leq ||J(F)(1,1)||$
