¿Cómo puedo escribir una ecuación que coincide con cualquier secuencia?

Question

Una cosa que he estado pensando últimamente es cómo escribir una ecuación que describe un patrón de números. Lo que quiero decir es:

x   0    1    2 
y   1    5    9

Si tengo esto, puedo decir que una ecuación que describe este sería y=4x+1. De hecho, ni siquiera tengo el 3er par de números. Es muy fácil cuando la ecuación es una línea recta. Pero cuando la ecuación es una parábola, no siempre es fácil. Por ejemplo:

x   0    1    2 
y   1    2    5  

Me puede decir que esta es $ y=x^2+1$, porque reconozco el patrón. Pero yo no siempre se puede saber con sólo mirar los números de lo que es el derecho de la ecuación debe ser. Hay alguna manera de saber en todo momento el derecho de la ecuación? Sé que si te la $x=0$ plazo, usted puede obtener el c $y=ax^2+bx+c$, pero eso no es suficiente para que me permita resolver como puedo cuando la ecuación es una línea.

Por ejemplo, puede que alguien me muestran cómo haría para

x    0     1     2
y    5     4     7

No es una tarea cuestión, lo prometo!

Answer 1

Si usted sabe que su relación va a ser un polinomio, entonces hay algunas bastante (conceptualmente) maneras simples que usted puede hacer esto.

Si usted sabe qué grado de su polinomio es (línea, parábola, cúbicas, etc.) a continuación, su trabajo será mucho más fácil. Pero si no, entonces usted simplemente hay que mirar el número de puntos que tiene.

• Si se le da un punto, lo mejor que puedes hacer es de grado 0 ( y = k )
• Si se dan dos puntos, lo mejor que puedes hacer es de grado 1 ( y = a x + B )
• Si se le da los tres puntos, lo mejor que puedes hacer es de grado 2 ( y = a x² + B x + C )
• Si usted está dado de cuatro puntos, lo mejor que puedes hacer es de grado 3 ( y = a x³ + B x² + C x + D )
• etc.

Cuando digo "lo mejor que puede hacer", a lo que me refiero es -- si usted tiene una parábola, pero sólo se dan dos puntos, entonces usted realmente no puede identificar la parábola. Pero se puede decir que es una simple línea.

Supongamos que tenemos tres puntos. La "mejor que puede hacer" es asumir que es de grado 2. Si realmente es de grado uno, su respuesta por arte de magia se convierten en una línea ( su x^2 coeficiente se 0 )

La idea básica de problemas, relaciones y ecuaciones es:

Si usted tiene n desconocidos, necesita n ecuaciones/puntos.

Observe cómo, en la forma de la Parábola ( y = a x² + B x + C ), se tienen tres incógnitas? Y también tres ecuaciones! (puntos)

Vamos a escoger tres puntos arbitrarios

x 1 2 4
y 6 7 3

Configurar tres ecuaciones:

6 = 1² * A + 1 * B + C

7 = 2² * A + 2 * B + C

3 = 4² * + 4 * B + C

De tres ecuaciones con tres incógnitas. Usted debe ser capaz de resolver esto con una combinación de la mayoría de los sistemas de ecuaciones-resolución de reglas.

En nuestro caso, nos encontramos con:

A = -1
B = 4
C = 3

Así que nuestra ecuación es y = -x² + 4 x + 3

Tenga en cuenta que, si el original de tres puntos forman una línea, su $A$ $= 0$

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Sin embargo, si la ecuación es NO es un polinomio, entonces se queda con poco más que adivinar y comprobar, de conectar varios coeficientes y pruebas (exponencial? trigonométricas?)

La belleza del polinomio enfoque es que un polinomio de nivel lo suficientemente alto siempre se ajustará a cualquier lista de puntos. (a condición de que los puntos forman una función)

Answer 2

Dada una lista de los términos de una secuencia como la que usted describe, una técnica que puede ser de uso (complementaria a la de Justin respuesta) es de diferencias finitas. Calcular las diferencias entre los términos sucesivos. Si estas primeras diferencias son constantes, entonces una ecuación lineal se ajusta a los términos que usted tiene. Si no, calcular las diferencias de las diferencias. Si estas diferencias son constantes, entonces una ecuación de segundo grado se ajusta a los términos que usted tiene. Si no, usted puede continuar para calcular las diferencias hasta llegar a una diferencia constante (en el enésimo diferencias significa un polinomio de grado n), diferencias que son una constante en varias de las anteriores diferencias (exponencial de algún tipo), o de ejecutar fuera de los términos. En cualquier caso, lo que se encuentra es limitado a la coincidencia de los términos de saber, ya que sin algún tipo de regla general para la secuencia, el primer desconocido plazo podría ser cualquier cosa, y de alterar completamente el patrón (y con n conocido términos, un polinomio de grado n-1 siempre que encaja perfectamente).

Answer 3

Por supuesto, hay infinidad de la ecuación (incluso si usted los necesita para ser infinitamente diferenciable...) que satisfacen las restricciones dadas. Como Isaac y Justin ya se escribió, usted siempre puede encontrar un polinomio de grado a lo más n-1 (donde n es el número de puntos dados) que satisfaga los datos dados; pero usted no puede estar seguro de que esta es la respuesta correcta. Por otra parte, si los datos no es exacta sino aproximada el polinomio resultante puede ser bastante diferente de la función correcta, ya que es probable que hade enormes picos y caídas. En tales casos, un método aproximado como el de mínimos cuadrados puede ser más útil.

Answer 4

En el caso general de tratar de predecir algunos secuencia infinita de números enteros, no hay una fórmula. Esto es porque no hay ninguna razón para esperar que un patrón a seguir, ya que todas las secuencias posibles.

Sin embargo, se puede decir que un cierto número es más probable dado un conjunto de funciones. Por ejemplo, si usted considera que todas las máquinas de Turing, se podría decir que dados n elementos de una secuencia de buscar en todas las máquinas de Turing que predecir la secuencia actual y, a continuación, encontrar la mayoría de predijo el próximo número. Todavía no hay una eficiente manera de calcular lo que el más probable es que el próximo número.

Ray Solomonoff llamó a este "Universal Probabilística de Inducción"

Esto se explica en más detalle aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Inductive_inference

Answer 5

Tal vez sea útil: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial