Sentencias de lógica de predicado con uno y varios parámetros

Question

Soy nuevo en la comunidad de intercambio de pilas de Matemáticas, así que mis disculpas de antemano por cometer errores por poner mi pregunta en categorías no adecuadas y tal.

La última pregunta: ¿Cuándo se supone que hay que utilizar enunciados de predicados n-arios para demostrar cualquier tipo de preguntas basadas en pruebas? (En mi contexto, cualquiera de las tres inducciones) En caso de que pueda haber alguna confusión debido a muchas teorías y notación diferentes para la lógica de predicados n-ary como en... es decir, P(x, y) o P(x, y, z) o n-ary P(x_0, x_1, ... , x_n-1)

Subpregunta #1: Yo mismo pensé en esta pregunta y se me ocurrió una sub-pregunta como cuál es la diferencia entre los dos predicados siguientes y no fui capaz de encontrar la respuesta cuál es la diferencia buscado en línea sin embargo ninguna respuesta realmente específica y detallada pero aquí está:

Subpregunta #2: ¿Es necesario que todas las variables que se utilizan en la oración predicativa estén delimitadas por un cuantificador?

Considere, las dos preguntas siguientes:

1. Demostrar que para todos los números naturales $n, k*n \ge n$ para cualquier número natural $k \ge 2.$

He pensado en dos predicados y dos afirmaciones separadas que he hecho para la pregunta anterior como sigue:

Definir un conjunto $S =\{s \in \mathbb {N}\}.$

Además, defina el conjunto $Y = \{y \in \mathbb {N} \; | \; y\ge 2\}.$

Predicado y reivindicación nº 1

Definir el predicado $P:S \rightarrow \{True, False\}$

y se define como $P(n): "k*n \ge n"$

Reclamación nº 1: $ \forall \; n\in S, P(n)$ se mantiene.

NOTA: La variable limitada en el predicado sería $n$ y la variable libre sería el $k$ porque no está limitada por algún cuantificador. Así que una pregunta natural es, ¿tengo/tengo que acotar la variable libre $k$ para probar esta cuestión?

Reclamación nº 2: $ \forall \; n \in S , \forall \; k \in Y, P(n)$ se mantiene.

Predicado y pretensión nº 2

Definir el predicado $P: (S \times S) \rightarrow \{True, False\}$

y se define como $P(n, k): \; "k*n \ge n"$

Reclamación: $\forall n \in S, \; \forall k \in Y, \; P(n, k)$ se mantiene.

Subpregunta nº 3: (Acabo de pensar en esta pregunta mientras escribía este post...) Si tengo alguna declaración de predicado arbitraria (y SÓLO LA declaración de predicado) $P(n)$ es el $n$ ¿se considera una variable libre?

Así que de todos estos intentos, ¿alguno es correcto y si no es así, puede alguien proporcionar un predicado adecuado y rigurosamente definido para la pregunta anterior? También, sería muy apreciado si alguien puede señalar qué antecedentes básicos me pueden faltar para tener este problema y también sugerir cualquier tipo de libros de texto o cualquier material en línea que pueda ayudarme a fortalecer mis conocimientos en este campo. Personalmente, creo que la definición de un predicado es la base para aprender a demostrar rigurosamente cualquier afirmación matemática o no matemática.

¡Muchas gracias de antemano! :)

EDITAR #1: Gracias por vuestras dos respuestas, pero no he dicho explícitamente cuál era la pregunta que tenía en mente. (Mis disculpas, anoche era bastante tarde y no pude pensar con claridad)

Quiero preguntar cuál es la diferencia entre mi pretensión nº 1 y la nº 2 y la diferencia entre los dos predicados que he definido. Desde mi punto de vista la única diferencia que puedo detectar en el predicado es la vista muy explícita que es mi primer predicado es unario y segundo predicado es binario PERO no entiendo cuál es la diferencia matemática.

Answer 1

Tenemos que :

"para todos los números naturales $n, k n ≥ n$ para cualquier número natural $k ≥ 2$ "

es:

$\forall n \forall k \ (k \ge 2 \to kn \ge n)$ .

Así, ambas variables $n$ y $k$ se cuantifican (universalmente).

Suponemos que el dominio es $\mathbb N$ : así podemos omitir la "especificación" : $\in \mathbb N$ .

Si queremos montar una prueba inductiva típica, podemos considerar el predicado binario $P(n,k) := kn \ge n$ y aplicar la inducción en $k$ :

(i) Base : $k=2$ .

Tenemos que $2n = n+n \ge n$ .

(ii) Fase de inducción : se supone que la propiedad se mantiene para $k \ge 2$ y probar para $k+1$ .

Si $k+1 \ge 2$ (y por lo tanto $k \ge 1$ asegurando que $kn \ne 0$ ), tenemos que $(k+1)n=kn+n \ge n+n \ge n$ .

En conclusión, tenemos $P(n,2) \text{ and } \forall k (k \ge 2 \to (P(n,k) \to P(n,k+1)))$ . Así, podemos aplicar la inducción para concluir con:

$\forall k \ (k \ge 2 \to P(n,k))$ .

Pero el resultado es válido para $n$ lo que sea; así podemos generalizarlo a:

$\forall n \ \forall k \ (k \ge 2 \to kn \ge n)$ .