Proyección del vector $v$ en $u$ en términos de producto interno

Question

$$ \mathrm{proj}_{v}(u) = \frac{\left \langle v,u \right \rangle}{\left \langle v,v \right \rangle}v=\left \langle \hat{v,}u \right \rangle\hat{v} $$

No soy capaz de seguir de la segunda a la última desigualdad. ¿Podría alguien explicar cómo se produce la última igualdad?

Answer 1

Esto se deduce de la definición de la norma como $||v||^2=\langle v,v\rangle$ y recordando que $\hat{v}=\frac{v}{||v||}$ :

$$ \begin{align} \frac{\langle v,u\rangle}{\langle v,v\rangle}v&=\langle v,u\rangle\cdot\frac{v}{\langle v,v\rangle}\\ &=\langle v,u\rangle\cdot\frac{v}{||v||^2}\\ &=\left\langle \frac{v}{||v||},u\right\rangle\cdot\frac{v}{||v||}\\ &= \langle\hat{v},u\rangle\cdot\hat{v} \end{align} $$

Answer 2

$\hat{v}$ es un vector unitario en la dirección de $v$ : $$\hat{v} = \frac{v}{|v|}; $$ La revocación de esa $<v,v> = |v|^2$ y la propiedad del producto escalar $\alpha<a,b>=<\alpha a,b>$ tenemos $$\frac{<v,u>}{|v|^2}v = <\frac{v}{|v|},u>\frac{v}{|v|}=<\hat{v},u>\hat{v}. $$