Existencia de la solución de una EDO singular

Question

Supongamos que $f$ es una función continua Lipschitz definida en $\mathbb{R}$ . ¿Cómo se puede demostrar que la siguiente EDO admite al menos una solución? \begin{equation} y'' + \frac{1}{x}y' + f(y) = 0 \end{equation} con $y(0) = y_0, y'(0) = 0$ .

¡Muchas gracias!

Jack

Answer 1

Dado $\phi\colon[0,\infty)\to\mathbb{R}$ continua, considere la ecuación $$ y''+\frac{1}{x}\,y'=\phi,\quad y(0)=y_0,\quad y'(0)=0. $$ Es fácil ver que una solución es $$ \psi(x)=y_0+\int_0^x\frac{1}{t}\Bigl(\int_0^ts\,\phi(s)\,ds\Bigr)\,dt. $$ Además $$ |\psi(x)-y_0|\le\frac{\sup_{0\le t\le x}|\phi(t)|}{4}\,x,\quad x\ge0. $$ La estrategia para demostrar la existencia de la solución será la siguiente. Fijar un intervalo $[0,a]$ . Dado $z\in C([a,b])$ definir $$ (Tz)(x)=y_0+\int_0^x\frac{1}{t}\Bigl(\int_0^ts\,f(z(s))\,ds\Bigr)\,dt. $$ Demostrar que $T$ es una contracción y tiene un punto fijo. Llevaré a cabo este programa suponiendo $f$ está acotado.

Dejemos que $L$ y $M$ sea la constante de Lipschitz y un límite de $f$ respectivamente. Elija $a>0$ tal que $a^2<4/L$ . Dejemos que $X$ sea el conjunto de funciones continuas definidas en $[0,a]$ tal que $$ \sup_{0\le x\le a}|z(x)-y_0|\le\frac{M\,a^2}{4}. $$ $X$ es un subespacio cerrado de $C([a,b])$ para que sea un espacio de mérito completo para la métrica uniforme.

Veamos que $T$ toma $X$ en sí mismo. Si $z\in X$ entonces $$ |(Tz)(x)-y_0|\le\int_0^a\frac{1}{t}\Bigl(\int_0^ts\,|f(z(s))|\,ds\Bigr)\,dt\le\frac{M\,a^2}{4}. $$ Probemos ahora que es una contracción. Si $z_1,z_2\in X$ entonces para todos $x\in[0,a]$ $$\begin{align} |(Tz_1)(x)-(Tz_2)(x)|&\le\int_0^a\frac{1}{t}\Bigl(\int_0^ts\,|f(z_1(s))-f(z_2(s))|\,ds\Bigr)\,dt\\ &\le\frac{L\,a^2}{4}\sup_{0\le x\le a}|z_1(x)-z_2(x)| \end{align}$$ con $$ \frac{L\,a^2}{4}<1. $$