¿Cómo saber qué tipos de sustitución podemos hacer en matemáticas?

Question

He visto en muchos contextos que alguien de la nada decide poner $x=y^2$ o $x=t/2$ .

¿Cómo puedo saber qué tipo de sustitución puedo hacer?

¿Hay alguna condición necesaria o podemos poner por ejemplo $x=\sqrt {sin(2y)}$ si es necesario?

Answer 1

Hay que pensar en términos de funciones. Si tienes una función que mapea desde $\mathbb{A} \mapsto \mathbb{B}$ , entonces su sustitución debe asignar desde $\mathbb{C} \mapsto \mathbb{A}$ para que el rango de la sustitución coincida con el dominio de la función original (esto es ignorando la disctinción entre el codominio y imagen --por ejemplo, es perfectamente correcto afirmar que la función $f(x) = x^2$ mapas $\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ donde $\mathbb{R}$ es el codominio y $\mathbb{R}^+$ es la imagen).

Un ejemplo: si tienes la función $f(x) = \sqrt{x}$ tal que $f: \mathbb{R}^+ \mapsto \mathbb{R}$ entonces es incorrecto sustituir la función $x = g(\zeta) = \zeta^3$ donde $g: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ . Aquí la función $g(\zeta)$ puede tomar un valor negativo--que el dominio original no puede (aunque esto sería trivial de arreglar simplemente declarando que $g : \mathbb{R}^+ \mapsto \mathbb{R}^+$ ).

Hay otra consideración, que es la monotonicidad. Suponiendo que $\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ , se puede considerar la función: $f(x) = x$ y la sustitución $x = g(\zeta) = 2\zeta^3 - 9\zeta^2 + 12\zeta$ . La función original aumenta monótonamente, pero la sustitución no (va y viene).

p.d. Cabe destacar que en términos de cálculo y Sustitución en u lo que realmente importa es si su sustitución es o no diferenciable . El hecho de que no sea monotónicamente igual no importa porque la integral restará y sumará adecuadamente las partes que van y vienen.

Este es un ejemplo de Álgebra II en el que hay que tener cuidado con las sustituciones:

$$ \sin^2(x) + \sin(x) - 2 = 0 $$

La sustitución que hace es que $y = \sin(x)$ y luego tenemos:

\begin{align} y^2 + y - 2 = 0 \\ (y + 2)(y - 1) = 0 \\ y = -2, y = 1 \end{align}

Debemos descartar la $y = -2$ solución porque $\sin(x) \neq 2$ para cualquier valor real (aunque eso no es cierto si permitimos valores complejos). Esto nos deja con una única solución $\sin(x) = -1 \rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ donde $n$ es un número entero cualquiera.

Si permitimos soluciones complejas, entonces podemos utilizar la ecuación que:

\begin{align} \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = 2 \\ \frac{e^{ix} - e^{-ix} - 4}{2} = 0 \end{align}

Ahora podemos utilizar una sustitución: $e^{ix} = y$ :

$$ y - \frac{1}{y} - 4 = 0 \rightarrow \frac{y^2 - 4y - 1}{y} = 0 $$

Podemos resolver: $y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5}$ que da:

\begin{align} e^{ix} = 2 \pm 2\sqrt{5} = e^{i(2\pi n - i\ln(2 \pm 2\sqrt{5})} \\ x = 2\pi n - i\ln(2 \pm 2\sqrt{5}) \end{align}