Un teorema de S. Garrison afirma que si $G$ es un grupo soluble finito y $|cd(G)| = 4$ entonces $dl(G)\leq |cd(G)|$ (la desigualdad de Taketa, que se conjetura que se mantiene para todos los grupos finitos solubles). Hasta ahora no he podido encontrar una demostración de este teorema en ningún sitio. Las únicas referencias que he visto son el libro de Isaacs sobre teoría de caracteres (donde sólo menciona que ha sido demostrado por S. Garrison), y la tesis doctoral de S. Garrison (que no ha sido publicada, así que no es de mucha ayuda).
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Se ha publicado una nueva prueba en:
Isaacs, I. M.; Knutson, Greg. "Grados de carácter irreductibles y subgrupos normales". J. Algebra 199 (1998), nº 1, 302-326. MR1489366 DOI:10.1006/jabr.1997.7191
Esto se amplió a cd(G)=5 pulgadas:
Lewis, Mark L. "Longitudes derivadas de grupos solubles que tienen cinco grados de carácter irreducible. I." Algebr. Represent. Theory 4 (2001), no. 5, 469-489. MR1870501 DOI: 10.1023/A:1012706718244
Menciona que "debido a la longitud y complejidad de su argumento, Garrison nunca publicó este resultado" y tiene algunos otros comentarios útiles.
Mike Schall
Puntos
2921
Sidney Garrison escribió una disertación en 1973 dirigida por Marty Isaacs en Wisconsin: Sobre los grupos con un número reducido de grados de carácter . Existe un documento relacionado MR0407120 (53 #10903) 20C15, Garrison, Sidney C., Acotando las constantes de la estructura de un grupo en términos de su número de carácter irreducible grados. J. Algebra 32 (1974), no. 3, 623-628. Para un grupo soluble, se demuestra que la longitud de ajuste demuestra que está limitada por el número de grados de caracteres irreducibles. A continuación, cuatro trabajos no relacionados hasta 1986, el último con S. Gagola en Kent State (para entonces Garrison aparentemente no estaba afiliado). Todo esto lo he sacado de MathSciNet, pero Marty Isaacs podría aportar más detalles.
