Las siguientes son definiciones estándar.
Una función f:[a,b)→E (donde a<b≤∞ y E es un espacio real de Banach) se llama impropiamente integrable de Riemann si es integrable de Riemann en [a,b′] para todos b′∈[a,b) y lim existe. En ese caso, la integral de Riemann impropia es \int_a^bf(x)dx := \lim_{b' \uparrow b}\int_a^{b'}f(x)dx
Análogamente se define la integral impropia para las funciones f: (a,b] \rightarrow E (donde -\infty \leq a < b ).
La integral impropia de una función f: (a,b) \rightarrow E (donde -\infty \leq a < b \leq \infty ) es \int_a^bf(x)dx = \int_a^cf(x)dx +\int_c^bf(x)dx, si las dos integrales impropias de la derecha existen para alguna (y por tanto cualquier) c \in (a,b) .
¿Y la siguiente definición alternativa?
Una función f: (a,b) \rightarrow E se llama impropiamente integrable de Riemann si es integrable de Riemann en [a',b'] para todos a',b' \in (a,b) y \lim_{(a',b') \rightarrow (a,b)}\int_{a'}^{b'}f(x)dx existe. En ese caso, la integral impropia es \int_a^bf(x)dx = \lim_{(a',b') \rightarrow (a,b)}\int_{a'}^{b'}f(x)dx .
Pregunta: ¿Son estas dos definiciones para la integrabilidad impropia de Riemann de una función f: (a,b) \rightarrow E ¿equivalente?
Demostré que la definición estándar implica la alternativa y que si ambas se mantienen, dan el mismo valor a la integral impropia. Sin embargo, no puedo demostrar o dar un contraejemplo a la afirmación de que la definición alternativa implica la estándar. O bien se me escapa algo, o bien se trata de una cuestión interesante.