¿Es la siguiente "definición" para una integral impropia de una función con dos puntos finales críticos equivalente a la "estándar"?

Question

Las siguientes son definiciones estándar.

Una función $f: [a,b) \rightarrow E$ (donde $a < b \leq \infty$ y $E$ es un espacio real de Banach) se llama impropiamente integrable de Riemann si es integrable de Riemann en $[a,b']$ para todos $b' \in [a,b)$ y $\lim_{b' \uparrow b}\int_a^{b'}f(x)dx$ existe. En ese caso, la integral de Riemann impropia es $\int_a^bf(x)dx := \lim_{b' \uparrow b}\int_a^{b'}f(x)dx$

Análogamente se define la integral impropia para las funciones $f: (a,b] \rightarrow E$ (donde $-\infty \leq a < b$ ).

La integral impropia de una función $f: (a,b) \rightarrow E$ (donde $-\infty \leq a < b \leq \infty$ ) es $$\int_a^bf(x)dx = \int_a^cf(x)dx +\int_c^bf(x)dx,$$ si las dos integrales impropias de la derecha existen para alguna (y por tanto cualquier) $c \in (a,b)$ .

¿Y la siguiente definición alternativa?

Una función $f: (a,b) \rightarrow E$ se llama impropiamente integrable de Riemann si es integrable de Riemann en $[a',b']$ para todos $a',b' \in (a,b)$ y $\lim_{(a',b') \rightarrow (a,b)}\int_{a'}^{b'}f(x)dx$ existe. En ese caso, la integral impropia es $$\int_a^bf(x)dx = \lim_{(a',b') \rightarrow (a,b)}\int_{a'}^{b'}f(x)dx$$ .

Pregunta: ¿Son estas dos definiciones para la integrabilidad impropia de Riemann de una función $f: (a,b) \rightarrow E$ ¿equivalente?

Demostré que la definición estándar implica la alternativa y que si ambas se mantienen, dan el mismo valor a la integral impropia. Sin embargo, no puedo demostrar o dar un contraejemplo a la afirmación de que la definición alternativa implica la estándar. O bien se me escapa algo, o bien se trata de una cuestión interesante.

Answer 1

En primer lugar, recordemos el "criterio de Cauchy para los límites". En concreto, dejemos que $F : (a, b] \to \Bbb R$ sea una función.
Entonces, $\lim_{x \downarrow a} F(x)$ existe si para cada $\epsilon > 0$ existe una vecindad (relativamente) abierta $U \subset [a, b]$ de $a$ tal que $|F(x) - F(y)| < \epsilon$ para todos $x, y \in U \setminus \{a\} = \dot U$ .

(La razón de escribir en términos de vecindades abiertas es que se encarga de $a = -\infty$ y $a \in \Bbb R$ ambos a la vez).

Del mismo modo, tenemos un criterio similar para las funciones sobre $[a, b)$ con un límite en $b$ .

(La motivación para considerar esto se menciona al final).

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$\newcommand{\md}[1]{{\left\lvert #1 \right\lvert}}$ Supongamos que $f$ es impropiamente integrable de Riemann en $(a, b)$ según la definición alternativa. Sea $L$ sea el valor de la integral.

Arreglar cualquier $c \in (a, b)$ .

Demostramos que las dos integrales deseadas existen demostrando que se cumple el criterio de Cauchy. Es decir, queremos demostrar que $$\lim_{a' \downarrow a} \int_{a'}^{c} f \quad\text{and}\quad \lim_{b' \uparrow b} \int_{c}^{b'} f$$ existe.

Para ello, dejemos que $\epsilon > 0$ se le dará.
Por la existencia del límite según la definición alternativa, existen barrios abiertos apropiados $U_a$ y $U_b$ de $a$ y $b$ respectivamente, de manera que $$\left\lvert\int_{a'}^{b'} f - L\right\rvert < \frac{\epsilon}{2}$$ para todos $(a', b') \in \dot U_a \times \dot U_b \subset (a, b) \times (a, b)$ .
(El punto en la parte superior indica que estamos borrando los puntos $a$ y $b$ .)

Ahora, arregla $a' \in \dot U_a$ y que $b', b'' \in \dot U_b$ sea arbitraria. Entonces, tenemos

\begin{align} \md{\int_c^{b'}f - \int_c^{b''}f} &= \md{\int_{a'}^{b'}f - \int_{a'}^{b''}f} \\ &\le \md{\int_{a'}^{b'}f - L} + \md{\int_{a'}^{b''}f - L} \\ &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. \end{align}

Así, vemos que $$\lim_{b' \uparrow b} \int_{c}^{b'}f$$ existe. Del mismo modo, el otro límite deseado también existe.

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La motivación para utilizar el criterio de Cauchy: Queríamos demostrar que los dos límites existen. Sin embargo, no teníamos ningún límite adivinado. Lo único que se nos ocurrió entonces fue este criterio que nos dice la existencia del límite incluso sin demostrar cuál es el límite.

Además, aunque permita $a$ y $b$ para tomar valores en la recta real extendida, estoy asumiendo que todos los límites involucrados son finitos.