Sobre las superficies del Pezzo

Question

En primer lugar, me gustaría pedir disculpas si mi pregunta es estúpida o un hecho conocido.

Dejemos que $F$ sea una superficie racional con $K_F^2=5$ y $f: F\rightarrow \mathbb{P_k^2}$ sea un morfismo biracional que contraiga cuatro curvas excepcionales. Si $\mathbb{k}$ no es necesariamente cerrado algebraicamente, ¿es cierto que $F$ es una superficie del Pezzo de grado 5?

Gracias.

Answer 1

La superficie, como superficie definida sobre $\mathbb{k}$ es una superficie del Pezzo si y sólo si es una superficie del Pezzo, vista como una superficie definida sobre $\overline{\mathbb{k}}$ . Así que su superficie es una superficie del Pezzo de grado $5$ si y sólo si su morfismo birracional contrae exactamente cuatro $(-1)$ -y si la imagen de los cuatro puntos es tal que no hay $3$ son colineales.

Obsérvese que si las cuatro curvas están definidas sobre $\mathbb{k}$ entonces la superficie es única, hasta el isomorfismo, ya que los puntos pueden ser elegidos para ser $[1:0:0]$ , $[0:1:0]$ , $[0:0:1]$ , $[1:1:1]$ . Sin embargo, existen diferentes superficies de Del Pezzo de grado $5$ no es isomorfo sobre $\mathbb{k}$ (pero sólo una clase de isomorfismo sobre $\overline{\mathbb{k}}$ ), ya que se pueden ampliar los puntos no definidos sobre $\overline{\mathbb{k}}$ y el grupo Picard sobre $\mathbb{k}$ puede ser menor que $5$ .