Demostrar la existencia de un miembro A de un álgebra sigma cuya medida exterior es igual a la medida de un subconjunto de A

Question

Dejemos que $\mu$ sea una medida en un semianillo $A$ $\subseteq$ $P(\Omega)$ y que $\mu^*$ sea la medida exterior generada por $(A, \mu)$ . Demostrar que para cualquier $E$ $\subseteq$ $\Omega$ $\exists$ $B$ $\in$ $\sigma(A)$ tal que $E$ $\subseteq$ $B$ y $\mu^*(E)$ $=$ $\mu(B).$

Hasta ahora sé que $\sigma(A)$ $\subseteq$ $M$ donde M es el campo sigma que contiene todos los $\mu^*$ subconjuntos medibles de $A$ . Esto significa: $\mu^*(E) = \mu^*(E $ $\cap$ $B)$ $+$ $\mu^*(E $ $\cap$ $B^c)$ .

Dejo que B sea una cubierta de E tal que:

$\mu^*(E)$ $\leq$ $\sum_{n=1}^\infty \mu(B_n)$ $\leq$ $\mu^*(E)$ $+$ $1/m$ $\forall$ $m$ $\in$ $N$

¿Cómo puedo utilizar esto para obtener el resultado que $\mu^*(E)$ $=$ $\mu(B)$ ?

Answer 1

Dejemos que $E \subset \Omega$ . Para $n \in \mathbb{N}$ dejar $B_n = \bigcup_{m=1}^\infty B_m^n$ con $B_m^n \in A$ para cada $m \in \mathbb{N}$ y $$ \mu^*(E) \leq \sum_{m = 1}^\infty \mu(B_m^n) + \frac{1}{n}.$$ Como la medida exterior es monótona el conjunto $B:= \bigcap_{n = 1}^\infty B_n \in \sigma(A)$ satisface para cada $n \in \mathbb{N}$ $$\mu^*(E) \leq \mu^*(B) = \mu(B) \leq \sum_{m = 1}^\infty \mu(B_m^n) \leq \mu^*(E) + \frac{1}{n}. $$ Como $n$ fue arbitrario este yiels $\mu(B) = \mu^*(E)$ .