Espacio vectorial infinito de soluciones

Question

Posible duplicado:
Ejercicio de Stein con operador diferencial parcial

Dejemos que $S$ sea un operador diferencial parcial lineal en $\mathbb{R}^{n}$ , $n \geq 2$ y considerar el espacio vectorial de $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $Sf = 0$ . ¿Por qué este espacio vectorial no es de dimensión finita?

Answer 1

Una función puede ser constante en una dirección y no constante en otra.

Por ejemplo, cualquier función suave de $y$ como $e^y$ o $\sin(y)$ puede considerarse como una función sobre $\mathbb{R}^2$ que es suave y aniquilado por $\frac{\partial}{\partial x}$ y eso es un espacio vectorial infinito de funciones suaves de dos variables.