Supongamos que tenemos n vectores normalizados en un espacio de Hilbert arbitrariamente grande $|A_1\rangle,\dots,|A_n\rangle$, $\langle A_i|A_i\rangle=1$ para todo i. Y hay $\frac{n(n-1)}{2}$ productos internos $\langle A_i|A_j\rangle$. Pero no son mutuamente independientes, por ejemplo, si $|\langle A_1|A_2\rangle|=|\langle A_1|A_3\rangle|=1$, entonces se requiere que $|\langle A_2|A_3\rangle|=1$. Entonces mi pregunta es cuáles son las relaciones exactas entre estos productos internos? ¿O cómo podemos calcular esta relación de manera eficiente?
Respuesta
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La matriz de productos internos es la matriz de Gram de sus vectores. Esta es una matriz semidefinida positiva, cuyo rango es la dimensión del espacio generado por los vectores. A la inversa, cada matriz SPD del rango correcto surge como la matriz de Gram (ya que sus vectores están normalizados, los elementos diagonales son todos $1$).
