$\mathbb{R}$ y $\mathbb{Z} $ son grupos bajo adición.
Mostrar $a+\mathbb{Z} \in \mathbb{R/Z}$ es de orden finito si y sólo si $a$ es racional.
¿Cómo puede ser esto de orden finito para cualquier $a$ ? Dejemos que $a=\frac{1}{2}$
Entonces el grupo coset $a+\mathbb{Z}$ es $\{...-\frac{5}{2},-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2}...\}$
Esto no es ciertamente de orden finito.
Evidentemente, estoy malinterpretando algo, ¿alguien puede ayudar?
¿Por qué usas Álgebra con conjuntos? ¿Es legal? También si tiene $2(\frac{1}{2} + \mathbb{Z})$ que se convierte en $(1+2\mathbb{Z})$ que no es $\mathbb{Z}$ ¿Verdad?
Aquí $R/Z$ es el conjunto cociente para la relación de equivalencia $x\sim y$ sólo si $x-y\in Z$ . El conjunto cociente es el conjunto de todas las clases de equivalencia. Y una clase de equivalencia es un conjunto. Por ejemplo, la clase de $1/2$ es $1/2 +Z$
Al tomar el cociente, estamos tratando efectivamente cualquier número entero como el elemento de identidad. Por lo tanto, un elemento en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ tiene orden finito si algún múltiplo del representante del coset es un número entero.Pero esto es precisamente la definición de un número racional.
Supongamos que $\frac{p}{q}$ está en sus términos más bajos. $q \neq 1$ . Si tiene $(\frac{p}{q}+\mathbb{Z})$ Si se multiplica por $q$ el número más pequeño que se puede multiplicar para obtener un conjunto entero, se obtiene $p+q\mathbb{Z}$ . Esto no es idéntico a $\mathbb{Z}$ Aunque Algunos elementos de $\mathbb{Z}$ faltan
Dado que el cociente es un grupo, $p(\frac{p}{q} + \mathbb{Z})$ debe ser también un elemento, lo que $p+q\mathbb{Z}$ ciertamente no lo es.
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Como elemento de $R/Z$ tiene orden 2.
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Estás mezclando los conceptos de cardinalidad (~orden) del propio coset con el orden del coset como elemento del grupo en el grupo cociente.
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@NickyHekster Sí- gracias me di cuenta de esto- si nos fijamos en mis comentarios a continuación todavía estoy un poco atascado con esta nueva comprensión del problema. Creo que ahora podría tener una idea de por qué estoy confundido. Si tenemos un elemento $g$ de un grupo ordinario- (no de un grupo cociente). Entonces $g^2 $ y $g^3$ son $g*g$ y $g*g*g$ respectivamente. Creo que también estoy confundiendo la operación binaria. Cuando hablamos del orden de un coset $gH$ : $(gH)^2 $ es $(g^2)H$ y así $((g*g)H)$ ...
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@NickyHekster Así que cuando encontramos orden de $(a+\mathbb{Z})$ , $(a+\mathbb{Z})^2$ no es como yo lo confundo $2(a+\mathbb{Z}) $ sino $(a+a)+\mathbb{Z}$ = $(2a)+\mathbb{Z}$ . SO de hecho al encontrar el orden de $\frac{p}{q} + \mathbb{Z} $ , $(\frac{p}{q} + \mathbb{Z})^q $ no es $q(\frac{p}{q} + \mathbb{Z}) $ pero en realidad $q*\frac{p}{q} + \mathbb{Z}$ $=p+\mathbb{Z} = \mathbb{Z}$ . ¿Es correcto?
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En primer lugar, la operación binaria del grupo es heredada por el grupo cociente, pero luego se aplica a la "multiplicación" de cosets. Tu segunda confusión: deberías diferenciar entre un multiplicativo y aditivo notación de la operación binaria de grupo. En formato multiplicativo $g^k$ Es similar al aditivo $g + \dots + g$ ( $k$ veces).