Fórmula para encontrar el exponente con una respuesta específica

Question

Esta es la ecuación $$\frac{100}{0.003(2^x)}=?$$

La respuesta necesaria está en el rango $(1,2)$ .

¿Cómo puedo calcular el exponente para que esta ecuación obtenga la respuesta deseada? Aquí hay un ejemplo. $$\frac{100}{0.003(2^{15})} = 1.01725260417$$

Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

Primero voy a definir $$f(x)=\frac{100}{0.003(2^x)}$$

Así que básicamente necesitamos $$1<f(x)<2$$ que es $$1<\frac{100}{0.003(2^x)}<2$$

Si eres fuerte con las desigualdades, puedes usar realizar las operaciones de una sola vez. Si no, te sugiero que lo dividas en $$\frac{100}{0.003(2^x)}>1\quad\text{and}\quad \frac{100}{0.003(2^x)}<2$$

Desde todos los números son positivos y tanto la función exponencial como la logarítmica son estrictamente crecientes puedes mover fácilmente las cosas para conseguir, para el lado izquierdo, \begin{align} \frac{100}{0.003(2^x)}&>1\\ \frac{100}{0.003}&>2^x\\ x<\log_2{\left(\frac{100}{0.003}\right)}\approx15.0247 \end{align}

y, para el lado derecho \begin{align} \frac{100}{0.003(2^x)}&<2\\ \frac{50}{0.003}&<2^x\\ x>\log_2{\left(\frac{50}{0.003}\right)}\approx14.0247 \end{align}

Por lo tanto, $$\log_2{\left(\frac{50}{0.003}\right)}<x<\log_2{\left(\frac{100}{0.003}\right)}$$

o

$$14.0247\lesssim x\lesssim15.0247$$

Answer 2

$$1 < \frac{100}{0.003(2^x)} < 2$$ $$\ln 1 < \ln\left(\frac{100}{0.003(2^x)}\right) < \ln 2$$ $$ 0 < \ln(100) - \ln(0.003) - x\ln2 < \ln 2$$ $$ 0 < 4.6051 - (-5.8091) - 0.6931 \times x < 0.6931$$ $$ 0 < 10.4143 - 0.6931 \times x < 0.6931$$ $$ 0 < 15.0247 - x < 1$$ $$ 14.0247 < x < 15.0247$$