Demostrar que un elemento $\bar{x}$ es su propia inversa si $\bar{x} = 1,-1$

Question

Demuestre que en $\mathbb{Z_p^\star}$ (donde p es primo bajo la operación binaria de multiplicación), un elemento $\bar{x}$ es su propia inversa si y sólo si $\bar{x} = \bar{1},\overline{p-1}$

Esta pregunta estaba en mi última tarea, y mi solución fue la siguiente:

$\overline{x^2} = \bar{1}$ $\iff \overline{x^2-1} = \bar{0} \iff \overline{(x-1)(x+1)} = \bar{0}$

Entonces concluí que o bien $\overline{x-1}$ o $\overline{x+1}$ es $\overline{0}$ Sin embargo, el marcador indicó que necesitaba más justificación del of:

$\iff \overline{(x-1)(x+1)} = \bar{0}$

a

o bien $\overline{x-1}$ o $\overline{x+1}$ es $\overline{0}$

Le pregunté a mi profesor al final de una clase y me dijo que había que justificar que o bien $p$ divide $\overline{x-1}$ o p divide $\overline{x+1}$ Pero tampoco entiendo cómo p divide, ni cómo eso justifica nada. ¿Podría alguien explicarlo?

Answer 1

Supongamos que $ \overline{(x-1)(x+1)} = \bar{0}$ y por definición de $\mathbb Z_p^*$ tenemos $p\,|\,(x-1)(x+1)$ . Por lo tanto, o bien $p\,|x+1$ o $p\,|\,x-1$ e implica que $\bar{x} = \bar{1},\overline{p-1}$ .

Lo contrario está claro.

Tenga en cuenta que $\overline 1=\{\ldots,-p+1,p+1,2p+1\ldots\}$ o $\overline 0=\{,\ldots,-p,0,p,2p,\ldots\}$ . Cuando escribimos $ \overline{(x-1)(x+1)} = \bar{0}$ nos referimos a $(x-1)(x+1)=kp$ donde $k\in \mathbb Z$ .

Answer 2

Estás considerando enteros módulo $p$ bajo la multiplicación - por lo que se refieren a que un número entero es equivalente a 0 mod $p$ si es un múltiplo de $p$ .

Entonces, como $(x+1)(x-1) = 0$ en $\mathbb{Z}_p^*$ , tienen que (en $\mathbb{Z}$ ) $p$ divide $(x+1)(x-1)$ . Entonces, o bien $p$ divide $(x+1)$ o $p$ divide $(x-1)$ - ya que es una propiedad estándar que para $p$ de primera, $p \vert ab \Rightarrow p \vert a \ or \ p \vert b$ .

También se puede citar que $\mathbb{Z}_p$ en un dominio integral, pero si esperaran que lo hicieras creo que lo que te hubieran dicho sobre la justificación habría sido diferente (así que puede que no hayas hecho ese tipo de cosas todavía ).