Secuencia de variables aleatorias iiD

Question

Hoi, Let $X_1,X_2...$ iiD variables aleatorias con $\mathbb{P}(X_n=1)=p$ , $\mathbb{P}(X_n=-1)=1-p$ y que $0<a<b$ .

Entonces dejemos que $S_n=X_1+\cdots +X_n$ y $T= \inf\left\{n: S_n=a, \ \text{or} \ S_n = -b\right\}$ y $\mathcal{F_n}= \sigma\left\{X_1,\cdots X_n\right\}$

Quiero demostrar que existe $N,\epsilon$ tal que $\mathbb{P}(T\leq n+N |\mathcal{F}_n)>\epsilon $

No estoy seguro de qué mostrar aquí.

También quiero mostrar que existe $N,\epsilon$ tal que $\mathbb{P}(T>kN)\leq (1-\epsilon)^k$ que aparentemente sigue. ¿Puede alguien darme alguna idea de lo que hay que mostrar?

Answer 1

Pistas: Partiendo de cualquier punto en $(-b,a)$ para realizar $N=a+b$ pasos en el $+1$ dirección implica que una izquierda $(-b,a)$ antes del tiempo $N$ Por lo tanto $\mathbb P(T\geqslant n+N\mid\mathcal F_n)\leqslant1-\epsilon$ con $\epsilon=p^N$ . Ahora bien, si $T\gt (k+1)N$ entonces $T\gt kN$ y en el momento $kN$ uno se encuentra en un punto de $(-b,a)$ Por lo tanto $\mathbb P(T\gt(k+1)N\mid T\gt kN)\leqslant1-\epsilon$ por cada $k\geqslant0$ lo que implica que, para cada $k\geqslant0$ , $\mathbb P(T\gt kN)\leqslant(1-\epsilon)^k$ .