límite de una secuencia creciente de medidas es una medida

Question

Declaración

Dejemos que $(X,\Sigma,\mu)$ sea un espacio medible y que $(\mu_n)_{n\geq 1}$ sea una secuencia de medida en este espacio. Supongamos que se trata de una secuencia monótona creciente, en el sentido de que $\mu_n(E)\leq \mu_{n+1}(E)$ para todos $E \in \Sigma$ y para todos $n$ . Si definimos, para cada $E \in \Sigma$

$\space$ $\mu(E)=\lim_{n \to \infty} \mu_n(E)$ ,

demostrar que $\mu$ es una medida.

El intento de solución

Estoy teniendo problemas tratando de demostrar la propiedad de aditividad contable, que es, si $\{E_i\}_{i \in \mathbb N}$ es una colección contable de conjuntos disjuntos por pares en $\Sigma$ entonces $\mu(\bigcup_{i \in \mathbb N} E_i)=\sum_{i \in \mathbb N} \mu(E_i)$

En este caso particular, la propiedad se cumple si y sólo si

$\lim_{n \to \infty} \mu_n(\bigcup_{i \in \mathbb N} E_i)=\sum_{i \in \mathbb N}\lim_{n \to \infty}\mu_n(E_i)$

Cada $\mu_n$ es una medida, por lo que

$\lim_{n \to \infty} \mu_n(\bigcup_{i \in \mathbb N} E_i)=\lim_{n \to \infty} \sum_{i \in \mathbb N} \mu_n(E_i)$ .

¿Cómo podría seguir adelante? Sé que debo usar el hecho de que $(\mu_n)_{n \in \mathbb N}$ es una secuencia monótona creciente, agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Puede utilizar que una función de conjunto $\mu$ definido en un espacio medible tal que $\mu(\emptyset)=0$ , $\mu$ es finitamente aditivo y es continuo desde abajo es una medida en ese espacio. Además, se puede definir una doble secuencia $(s_{n,m})_{n,m\geq 1}$ dado por $s_{n,m}=\sum_{k=1}^m \mu_n(E_k)=\mu_n(\bigcup_{k=1}^m E_k)$ y luego demostrar que $$\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{m\to\infty} s_{n,m}=\sup\limits_n\sup\limits_m(s_{n,m})=\sup\limits_m\sup\limits_n(s_{n,m})=\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty} s_{n,k}$$ Nótese que la igualdad entre el supremum y el límite se debe a que en cada índice, la secuencia $(s_{n,k})$ es monótonamente creciente.