¿Converge esta martingala en $L^2$

Question

Pregunta de un examen anterior que no puedo resolver:

Dejemos que $Y_i$ sean variables aleatorias mutuamente independientes con $P(Y_i=1)=p=1-P(Y_i=-1)$ . Supongamos que $p>1/2$ . Definir $M_n$ como:

$$M_n=\sum_{i=1}^n (Y_iY_{i-1}-(2p-1)Y_{i-1}), \text{with } Y_0=0.$$

Es fácil demostrar que se trata de una martingala, pero no sé por dónde empezar al considerar la convergencia en $L^2$ . Por supuesto $M_n$ converge en $L^2$ si $\sup_{n\rightarrow\infty}E(M_n^2)<\infty$ . Desde $|M_n|<(n-1)\cdot 2p$ esto es un $L^2$ martingala. ¿Algún consejo?

Answer 1

No converge en $L^2$ . Una martingala tiene incrementos ortogonales, por lo que $$ E(M_n^2) = \sum_{i=1}^n E \left [ \left ( Y_i Y_{i-1} - (2p-1) Y_{i-1}\right )^2 \right ]. $$ Expandiendo el cuadrado y utilizando la independencia se obtiene \begin{align*} E \left [ \left ( Y_i Y_{i-1} - (2p-1) Y_{i-1}\right )^2 \right ] & = E(Y_i^2 Y_{i-1}^2) + (2p-1)^2 E(Y_{i-1}^2) - 2(2p-1) E(Y_iY_{i-1}^2) \\ & = 1 + (2p-1)^2 - 2(2p-1)^2 \\ & = 1 - (2p-1)^2, \end{align*} y por lo tanto $$ E(M_n^2) = n (1 - (2p-1)^2), $$ que no está acotado.

Ahora bien, otra cosa es que $p$ depende de $n$ . Normalmente, si $p = p_i = 1 - a_i$ con $\sum a_i < + \infty$ , entonces se obtiene $$ E(M_n^2) = \sum_{i=1}^n (1 - (1-a_i)^2), $$ con $(1 - (1-a_i)^2) \sim 2 a_i$ y entonces la serie es convergente, es decir $\sup E(M_n^2) < + \infty$ .