Una duda, en la definición rigurosa de los límites.

Question

He estudiado la definición de los límites de hoy, y creo que la mayoría lo entiende, pero tengo un poco de duda. En la definición:

$f(x)$ está definida en algún intervalo abierto que contiene a $a$, excepto posiblemente en a $a$. Por eso, $\lim_{x\to a} f(x) = L $ si y sólo si para cada número $\varepsilon>0$, existe un correspondiente número de $\delta>0$ tal forma que: $$\text{If } 0<|x-a|<\delta \text{ then } |f(x)-L|<\varepsilon$$

Primero de todo, si ves algún error en mi definición o comprensión, por favor, dígaselo. Así que mi pregunta es, ¿por qué no podemos escribir $0<|x-a|\leq\delta$ $|f(x)-L|\leq\varepsilon$ en la última línea? Qué tipos de problemas puede surgir de esto? Si las definiciones son equivalentes, se puede explicar o demostrar por qué?

Answer 1

Primero asuma: $\varepsilon>0$, existe un correspondiente número de $\delta>0$ tal forma que: $$\text{If } 0<|x-a|<\delta \text{ then } |f(x)-L|<\varepsilon$$

Para que se tomen $\varepsilon=\frac{\epsilon}{2}$, entonces existe $\delta$ tal: $$\text{If } 0<|x-a|<\delta \text{ then } |f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2}$$ A continuación, puedes ver: $$0<|x-a|\leq\frac{\delta}{2}\Rightarrow 0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2}\leq{\epsilon}$$ A continuación, tome $\delta'=\frac{\delta}{2}$ y tiene su definición con menos o igual.

El otro lado es análogo

Answer 2

Aquí es muy, muy rápida respuesta que le ayudará a:

1. si desea $\leq \varepsilon$, acaba de elegir a $2\varepsilon$ en la definición de con $<$;
2. si desea $\leq \delta$, acaba de elegir a $\frac{\delta}{2}$ en la definición de con $<$.

En el primer caso, se explotan las palabras "para todos", en el segundo las palabras "para algunos".

Answer 3

La definición lo dice, para cada $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ cual es el punto crucial para entender. Aquí es cómo les explico:

Al $x$ tiende a $a$, nos estamos acercando a un punto de $a$, donde el valor de la función es $L$, mientras que se aproxima, en cualquier arbitrario $x$ el valor de la función es $f(x$). Podemos decir que nos estamos acercando al límite de $L$ sólo si la diferencia, decir $df$, entre el $f(x)$ $L$ disminuye a medida que la diferencia, decir $dx$, entre el $x$ $a$ disminuye. Esta disminución en el $dx$ asegura que $x$ está acercando hacia a $a$ y la disminución en el $df$ asegura que $f(x)$ está acercando hacia a $L$. Lo que significa que mientras se aproximaba, las diferencias deben disminuir continuamente y siempre hay un "$\epsilon$" por encima de $df$) "$\delta$ " por encima de $dx$ que asegura que se están acercando al límite. Desde $\delta$ $\epsilon$ puede tomar cualquier valor infinitesimal, las condiciones de $0<|x-a|<\delta$ $|f(x)-L|<\epsilon$ dice que $|a-x|$ $|f(x)-L|$ puede tomar mucho más pequeños que los valores positivos de $\delta$ $\epsilon$ respectivamente, lo que asegura el enfoque a estar muy cerca de a $L$

Si escribimos $0<|x-a|\leq\delta$$|f(x)-L|\leq\epsilon$, la igualdad de condiciones da $\epsilon=|f(x)-L|$$\delta=|x-a|$, los cuales pueden ser satisfechos en cualquier parte de la curva y la igualdad en cualquiera de ellos o en ambos, no asegurarse de que las diferencias son todavía más pequeños que lo que sea de valor de $\epsilon$ $\delta$ toma y por lo tanto no asegurarse de que están disminuyendo o nos estamos acercando al límite. Cuando decimos "menor que o igual a" cualquiera de la condición se cumple, pero cuando decimos "menos que" la única condición que se cumpla es $|x-a|$ $|f(x)-L|$ siempre será menor que $\delta$$\epsilon$, respectivamente, y cuando la definición que dice que por cada $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que

$0<|x-a|<\delta\space\space\space\space$ $\space\space|f(x)-L|<\epsilon\space$ esto significa que cualquiera que sea el valor de $\epsilon$ $\delta$ toma mientras se aproximaba, $|x-a|$ $|f(x)-L|$ son todavía más pequeños que ellos.