Demostrar la desigualdad $n<3^n$ utilizando la inducción matemática

Question

Demostrar que $n<3^n$ donde $n \in \mathbb N$ ,

cuando $ n=1 $ he comprobado que es cierto.
Y asumió cuando $n = p$ , $p<3^p$ es cierto.
¿Puede alguien ayudarme a demostrar que es cierto para $n =p+1$

Answer 1

Tenemos como hipótesis inductiva (IH) que $\,p \lt 3^p$ .

Así que tenemos que mostrar $$p+1 \lt 3^{p+1} = 3 \cdot 3^p.$$

¿Puedes ver que $$p + 1 \quad \overset{IH}{\lt}\quad 3^p + 1 \quad \lt \quad 3\cdot 3^p \;= \;3^{p+1}, \quad \forall p \in \mathbb N$$

Answer 2

Si $n < 3^n$ entonces se deduce que $$n+1 <3^n +1 < 3^n +(2\cdot 3^n)=3^{n+1}$$ aquí usé eso $1<2\cdot 3^n$ para todos $n\in \Bbb N$ .

Answer 3

Por lo que hemos demostrado que para $n=1$ , $1<3$ , lo que sería para $n+1$ Tenemos $(n+1)<3^{n+1}$

lo que significa que $(n+1)<3*3^n$ ,ahora claramente tenemos $3^p+1<3*3^p$ pero también $3^p+1>p+1$ porque hemos utilizado tal cosa que $p<3^p$ Finalmente, concluimos que $p+1<3*3^p$ .