Necesito ayuda para encontrar esta función.

Question

Necesito encontrar una función holomorfa $f:\mathbb{C}\setminus\{0\}\mapsto \mathbb{C}$ con $\Re{(f)}=\dfrac{x+y}{x^2+y^2}$ y $f(1)=1$ . Me he quedado muy atascado en esto. Aquí está mi trabajo hasta ahora:

Dado $f$ es holomorfa, las ecuaciones CR se mantienen necesariamente y podemos escribir $f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}-i\dfrac{\partial u}{\partial y}$ . [La pregunta sugiere utilizar esta fórmula para la derivada].

Calculando; $\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{-x^2-2xy+y^2}{(x^2+y^2)^2}$ y $\dfrac{\partial u}{\partial y} = \dfrac{x^2-2xy-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ .

Por lo tanto, $f'(z) = \dfrac{-x^2-2xy+y^2-ix^2+2ixy+iy^2}{(x^2+y^2)^2}$

Ahora me he dado cuenta de que $-\bar z^2 = -x^2+2ixy+y^2$ y $-i\bar z^2 = -ix^2-2xy+iy^2$

Así, podemos escribir $f'(z)=\dfrac{-\bar z^2 -i\bar z^2}{|z|^4} = (-1-i)\dfrac{\bar z^2}{|z|^4} = (-1-i)\dfrac{1}{z^2|z|^2}$

...y ahora no sé qué hacer. Esperaba una función que tuviera una antiderivada fácil de encontrar, pero no tengo ni idea de cómo tratar el $|z|^2$ .

Answer 1

Cuando tienes $$f'(z)=(-1-i)\frac {\bar z^2}{|z|^4}$$ al final tienes algo que es como $\frac 1 {z^2}$ mientras que la expresión final en la misma línea es como $\frac 1{z^4}$ .

De hecho todo lo que necesitas hacer es notar que $|z^4|=z^2\bar z^2$ para conseguir $$f'(z)=-(1+i)\frac 1{z^2}$$ que es probablemente la expresión fácil que estabas buscando.