Dos cuestiones relacionadas con las uniones de conjuntos de Cantor

Question

Necesito preguntar esto antes de que se me olvide, aunque puede que sea trivial la respuesta; no estoy seguro. Lo pregunto por curiosidad. De alguna manera me fascinan los conjuntos de Cantor.

Definición: El conjunto de Cantor es $\subset \mathbb{R}$ el único espacio métrico totalmente desconectado, perfecto y compacto hasta un homeomorfismo (Willard 1970). Creo que esta definición se aplica no sólo al conjunto ternario de Cantor, sino a todos los conjuntos de Cantor. ¿Estoy en lo cierto?

Pregunta a) ¿La unión contable de conjuntos Cantor disjuntos es necesariamente un conjunto Cantor?

Pregunta b) ¿Puede $[0,1] \cap (\mathbb{R} $ \ $ \mathbb{Q} $ ) se escriba como la unión contable de conjuntos de Cantor?

Relacionado: ¿Puede el intervalo estar cubierto por conjuntos de Cantor disjuntos?

Answer 1

Dejemos que $C$ sea un conjunto de Cantor. La unión de un número contable de conjuntos Cantor disjuntos es homeomorfa a $C\times\Bbb N$ , donde $\Bbb N$ tiene la topología discreta, y por lo tanto no es compacto y no es un conjunto de Cantor. También es homeomorfo a $C\setminus\{x\}$ para cualquier $x\in C$ .

$[0,1]\setminus\Bbb Q$ no es $\sigma$ -compacto por lo que, en particular, no es la unión de un número contable de conjuntos de Cantor.