Transformación de la variable CDF

Question

Dejemos que $X$ sea uniforme en $(-1, 2)$ y que $Y = X^2$ . Encuentra el pdf de $Y$ .

Hasta ahora he observado que $F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-1}^x \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3}(x+1)$ .

Entonces, como $Y=X^2$ , $y \in [0,4]$ .

Mi intento inicial fue hacer el procedimiento normal de

$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = \begin{cases} P(X \geq -\sqrt{y}, \quad x \in [-1,0) \\ P(X \leq + \sqrt{y}, \quad x \in [0,2] \end{cases}$

Continuando,

$F_Y(y) = \begin{cases} F_X(-\sqrt{y}), \quad x \in [-1,0) \\ F_X(+\sqrt{y}), \quad x \in[0,2] \end{cases} = \begin{cases} \frac{1}{3}(1-\sqrt{y}), \quad x \in[-1,0) \\ \frac{1}{3}(1+\sqrt{y}), \quad x \in[0,2] \end{cases}$

Estoy bastante contento de que el CDF de $Y$ es continua y está bien definida pero no me gusta que tenga que especificar el dominio de x ya que al fin y al cabo debería ser una función de y, ¿no? O es necesario en este caso ya que $Y=X^2$ no es uno a uno en el dominio?

Answer 1

Hay un error en su cálculo (parece que obtendría $F_Y(0) = 1/3$ pero esta probabilidad debería ser $0$ ). Obsérvese que (para $y\geq 0$ ), $P(X^2\leq y)$ es en realidad igual a $P(-\sqrt{y}\le X \le \sqrt{y}) = \color{red}{F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})}$ . Intenta calcular esta parte roja para $y\in [0,4]$ . Deberá recordar que $F_X(t)$ se convertirá en $0$ si $t < -1$ .