Dados los triángulos isósceles $\triangle ABC$ y $\triangle DBF$ (todas las cuerdas esféricas), identificar la cuerda $\overline {DF}$ para que $|AD| = |DF| = |FC|$

Question

tl;dr : Como se muestra en la imagen de abajo, encuentra el acorde $\overline {DF}$ para que $|\overline {AD}| = |\overline {DF}|$ y que la respuesta sea en forma de ratio entre $|\overline {AC}|$ y $|\overline {DF}|$ . En realidad, busco una proporción ligeramente diferente (que se explica más adelante), pero éste es el problema básico que creo que hay que resolver. Sólo el triángulo isósceles $\triangle ABC$ puede utilizarse como entrada (la imagen es ligeramente engañosa, ya que todas deberían ser líneas rectas y $\overline DF$ debe ser ligeramente superior a $\triangle ABC$ y no la intersección).

El problema real que intento resolver es subdividir un dodecaedro en caras más pequeñas (conocido como dodecaedro achaflanado), y aproximar una esfera usando ese poliedro. Esto se hace en 3 pasos:

1. Reducir cada cara desde su centro en algún factor de escala (lo que estoy tratando de resolver) para que los hexágonos construidos en el siguiente paso sean planos (no serán equiangulares, sin embargo)
2. Construye hexágonos entre las caras recién subdivididas (los poliedros de Goldberg siempre tendrán 12 pentágonos, independientemente de su subdivisión)
3. Escala la nueva cara desde el origen para que cada vértice tenga la misma magnitud de la cara original (esto se hace normalizando cada vértice, y luego escalando por un radio especificado - esto hará que los hexágonos no sean planos)

Mi problema es que estoy atascado en cómo identificar el factor de escala en el primer paso, ya que no parece haber una relación lineal entre el factor de escala necesario y el número de subdivisiones que se realizan. Esto se muestra en las dos imágenes de abajo, donde estoy añadiendo las nuevas caras sobre el dodecaedro original (radio de 1 en mi caso). He calculado manualmente aproximadamente $0.40706$ (o $40.706\%$ ) para la primera subdivisión, lo que permitió que la construcción del hexágono [verde] tuviera lados satisfactoriamente equivalentes. Sin embargo, cuando intenté volver a escalar los nuevos pentágonos con el mismo factor de escala (mostrado con los pentágonos amarillos), los hexágonos intermedios no eran equiláteros...

Sospecho que el factor de escala cambiará cuanto más subdivida estas caras, lo que indica que debe haber una relación no lineal entre la longitud del lado y la longitud de la cuerda de unión. Para intentar resolver mi problema, he reconstruido la cuestión a lo que espero que sea un problema matemático solucionable, mostrado en las imágenes de abajo (aunque las líneas $\overline {AB}$ y $\overline {BC}$ deberían ser acordes, no arcos - gracias a @Blue en los comentarios). Sin embargo, francamente no tengo ni idea de por dónde empezar... Siento que resolver este problema está más allá de mis conocimientos. Luego intenté condensar esto a un caso más simple con un triángulo isósceles en el espacio 2D, pero también me encontré con un bloqueo similar. Sé que necesito la "escala" como salida (específicamente cuando se usó la escala en el primer paso), y mis valores conocidos son las longitudes de los lados del pentágono/hexágono, su posición en el espacio 3D y la magnitud de cada uno de los puntos. ¡Estaría muy agradecido por su orientación en este tema!

Editar:

Este es el resultado que intento conseguir, utilizando los siguientes factores de escala aproximados manualmente (nótese que los hexágonos no son planos):

Subdivision | Pentagons | Hexagons 
------------|-----------|---------
     0      |     -     |    -   
     1      |  0.40706  |    -   
     2      |  0.44950  |  0.4874 
     3      |    ...    |   ... 

Answer 1

Esta no es una solución completa, pero hasta ahora tengo las convenciones esenciales. Para concretar, consideraré que la esfera tiene radio 1 con $B$ en el polo norte, $O$ como origen, y los puntos $A,D$ en el positivo $xz$ -medio plano. Además, denotaré $$\begin{align} \theta&=\angle ABC=\angle DBF,\\ \phi_1&=\angle BOD =\angle BOD,\\ \phi_2&=\angle AOB=\angle BOF. \\ \end{align}$$ (Un inciso: Obsérvese que éstas denotan las longitudes de arco de los distintos segmentos de la figura esférica, que siempre es mayor que la distancia euclidiana entre los dos vértices. Esto no es crucial para el problema planteado: Si dos pares de vértices tienen la misma longitud de arco, entonces tienen la misma distancia euclidiana, por lo que también podríamos considerar la longitud de arco. Pero sí importará si consideramos los cocientes, ya que la relación entre estas medidas de distancia no es lineal).

Así, las coordenadas cartesianas de los puntos $A,B,C,D,F$ se dan como

$$\begin{align} A&=(\sin\phi_2,0,\cos\phi_2),\\ B&=(0,0,1),\\ C&=(\sin\phi_2\cos\theta,\sin\phi_2\sin\theta,\cos\phi_2),\\ D&=(\sin\phi_1,0,\cos\phi_1)\\ F&=(\sin\phi_1\cos\theta,\sin\phi_1\sin\theta,\cos\phi_1),\\ \end{align}$$

La condición de interés es entonces $\angle DOF=\phi_2-\phi_1$ que se impone a través del producto punto de los vectores de posición para $D,F$ :

$$\cos(\phi_2-\phi_1)=\cos \angle DOF=\vec{D}\cdot \vec{F}=\sin^2\phi_1\cos\theta+\cos^2\phi_1.$$ En principio, podemos utilizar $\phi_2,\theta$ para determinar el ángulo $\phi_1\in [0,\pi]$ . Del mismo modo, el ángulo $\angle AOC$ se determina a través de los vectores de $A,C$ :

$$\cos\angle AOC = \vec{A}\cdot \vec{C}=\sin^2\phi_2\cos\theta+\cos^2\phi_2$$ que se determina por $\phi_2,\theta$ directamente. Así que en ese sentido hay una relación funcional entre $\phi_1$ , $\phi_2-\phi_1$ y $\angle AOC$ ...pero en la actualidad parecen... desagradables. Veré si puedo encontrar alguna forma inteligente de reducir esto. Alternativamente, las cosas pueden simplificarse si nos limitamos a un determinado caso de interés. Por ejemplo, cuando $\theta=2\pi/5$ (como para el icosaedro) se tiene $\cos\theta=(2\phi)^{-1}$ donde $\phi$ es la proporción áurea. Así que es plausible que un caso específico pueda ser más tratable que el genérico.