Distribución de Laplace a partir de una distribución uniforme

Question

Como estoy interesado en la simulación de distribuciones de probabilidad en el ordenador. Quiero simular la distribución de Laplace. Cuando estaba buscando en la página de wikipedia de la distribución de Laplace ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution#Related_distributions ) mi caí en $log(\frac{X}{Y}) \sim Laplace(0,1)$ para X e Y distribuidos uniformemente.

Antes de usar esto quiero, por supuesto, probarlo. Así que empecé a escribir $P(log(\frac{X}{Y}) \leq x)$ , he dividido en los casos x<0, x=0 y x>0. Pero no he conseguido nada más. Se agradecería la ayuda.

Ah, y por supuesto busqué en Google este resultado, pero sólo encontré páginas que lo mencionaban, no que lo demostraban.

Answer 1

Para $x \in \mathbb R$ tenemos \begin{align*} P\left(\log\frac XY \le x\right) &= P\left(\frac XY \le \exp x\right)\\ &= \int_0^1 P\left(\frac Xy \le \exp x\right)\; dy\\ &= \int_0^1 P\left(X \le y\exp x\right)\;dy\\ &= \int_0^1 \min\{y\exp x, 1\}\, dy\\ \end{align*} Para $x \le 0$ , $y\exp x \le 1$ para todos $y \in [0,1]$ Por lo tanto $$ P\left(\log \frac XY\le x\right) = \int_0^1 y\exp x\, dy = \frac 12 \exp x $$ para $x \ge 0$ : \begin{align*} P \left(\log \frac XY \le x \right)&= \int_0^{\exp (-x)} y\exp x\,dy +\bigl (1 - \exp(-x)\bigr)\\ &= \exp x \cdot \frac 12 \exp(-2x) + 1 -\exp(-x)\\ &= 1 - \frac 12 \exp(-x) \end{align*} Por lo tanto, $$ P\left( \log\frac XY \le x\right) = \begin{cases} \frac 12 \exp x & x \le 0 \\ 1 - \frac 12 \exp(-x) & x \ge 0\end{cases} $$ Así que $\log\frac XY \sim \text{Laplace}(0,1)$ .