¿Cuál es el resultado de $x^{\top}A\dot{x}+\dot{x}^{\top}Ax$ ?

Question

¿Cuál es el resultado de $x^{\top}A\dot{x}+\dot{x}^{\top}Ax$ siempre y cuando $A=A^{\top}$ ? En realidad, quería ampliar $d(x^{\top}Ax)\over{dt}$ .

Answer 1

Usaré $y^T$ para el OP's $y^{\top}$ .

Observe que $x^TA{\dot x}$ al ser una cantidad escalar, es automáticamente simétrica: $(x^TA{\dot x})^T = x^TA{\dot x}$ y $({\dot x}^TAx)^T ={\dot x}^TAx$ también. Ahora $(x^TA{\dot x})^T = {\dot x}^TA^Tx$ por lo que obtenemos $x^TA{\dot x} = {\dot x}^TA^Tx$ . Así,

$x^TA{\dot x} + {\dot x}^TAx = {\dot x}^TA^Tx + {\dot x}^TAx = {\dot x}^T(A^T + A)x. \tag{1}$

Ahora usando $A^T = A$ (1) se convierte en

$x^TA{\dot x} + {\dot x}^TAx = 2{\dot x} ^TAx; \tag{2}$

¿es ese tipo de cosas lo que buscamos? No se puede llevar mucho más lejos, lo garantizo.